量子纠缠理论是量子信息领域的重要研究内容，纠缠态在信息处理和量子通信中起着重要的作用，利用两体和多体量子纠缠可以实现很多经典信息理论中无法完成的任务，例如量子隐形传态、量子克隆、量子密码等^[1-3].文献[4]介绍了两体系统混合态可分的必要判据，一个可分态的密度矩阵部分转置之后特征值非负，这称为部分转置正(positive partial transpose，PPT)判据.这为判断态的纠缠性提供了重要依据.图理论是数学知识体系中一个重要的分支，在许多方面得到了应用，如最优化、网路系统等领域.将图理论和量子信息理论相结合，有助于对量子态可分问题进行研究和分析.文献[5]介绍了关于图的拉普拉斯矩阵，在一般情况下归一化后的拉普拉斯矩阵被认为是量子纠缠理论研究中的密度矩阵.文献[6-7]介绍了在三体量子系统下，图的拉普拉斯矩阵的可分性质.文献[8]指出在图的同构意义下，图的可分性是不变的.文献[9]通过对星图加边的方法，分析和研究了星图密度矩阵的谱分解相关问题.文献[10]利用加权有向图研究一类用图的拉普拉斯矩阵定义的量子态.文献[11]介绍了两体量子系统下的并图的可分性，并通过定义一种新的图算子得到了一类新图，证明了在一定条件下新图代表两体量子系统下一种可分态.本文将文献[11]的结论推广到多体量子系统，给出了在多体量子系统中图顶点的分层方法，推广了图理论中并图的定义，证明了并图在多体量子系统中是可分的，并且通过推广的图算子构造了多体量子系统下的一类新图，再结合图的分层方法，给出了新图在多体量子系统中的可分判据.

1.   基础知识

定义1  图G是指一个二元有序组(V(G), E(G)).其中V(G)={1，2，…, n}是非空且有限集，称为顶点集；E(G)={(i, j):i, j∈V(G)}是顶点集V(G)中的无序的元素偶对组成的集合，称为边集，其中的元素称为边.图的顶点重合为一点的边(i, i)称为环.这里把不含环和重复边的图叫做简单图.

定义2   设G是由n个顶点构成的图，则图G的邻接矩阵是一个n阶矩阵，记为A(G)，其第i行j列元素为

定义3   V(G)是图G的非空顶点集，v_i在图G的度数是指V(G)中与v_i相邻接的顶点的数目，记为d_G(v_i). D(G)是图G的度数矩阵，它是以d_G(v_i)为对角元素的对角矩阵.

定义4  图G的密度矩阵定义为

式中：tr(Q(G))表示矩阵Q(G)的迹，即矩阵主对角线元素之和. L(G)和Q(G)是图G的拉普拉斯矩阵，其中L(G)=D(G)－A(G)，Q(G)=D(G)+A(G).

定义5   多体量子系统中，密度矩阵ρ如果能写成形式

则ρ在${H_1} \otimes {H_2} \otimes \ldots \otimes {H_n} $中是可分的.其中，$ \mathit{\boldsymbol{\rho }}_i^k$是H_k上的密度矩阵；$\sum\limits_i {{q_i} = 1, ({q_i} \ge 0);{H_k}\left( {k = 1, 2, \ldots , n} \right)} $是Hilbert空间.

定义6^[11]  图G和图H的并图定义为：$G \cup H = \left( {V\left( G \right) \cup V\left( H \right), E\left( G \right) \cup E\left( H \right)} \right) $.设图G是一个带有q个顶点的图，$ V\left( G \right) = \left\{ {1, 2, \ldots , q} \right\}$，则$ mG = G \cup G \cup \ldots \cup G$ (m个图G的并).

2.   并图的可分性

为了更好地分析并图的可分性，对图G的顶点进行分层.首先给出三体量子系统图的分层方式.

设三体量子系统是m×n×q维的，对应的简单图G带有mnq个顶点，即V(G)中有mnq个元素，V(G)={1, 2, …, mnq}.令v_i∈V(G)，(i={1, 2, …, mnq}).先将V(G)中的顶点分成m层，每层含有nq个顶点，得到层为：C₁, C₂, …, C_i, …, C_m.邻接矩阵A(G)为

再将每层nq个顶点分成n层，每层含有q个顶点.最终得到的层为：C_{1, 1}, C_{1, 2}, …, C_{i, j}, …, C_{m, n}.依据分层可以得到：v_{i, j, k}=nq(i－1)+q(j－1)+k，各类的层表示为

邻接矩阵A(G)中的子块A_{i, k}表示为

按照这种分层方式，可将邻接矩阵A(G)表示为

下面给出多体量子系统中图的分层方式.

设多体系统分别为H₁, H₂, …, H_n，其中H_i的维数是N_i(i=1, 2, …, n).图G是有N₁N₂…N_n个顶点的简单图，即V(G)={1, 2, …, N₁N₂…N_n}.先将V(G)中的顶点依次分成N₁层，每层N₂…N_n个顶点，得到的层为C₁, C₂, …, C_i1, …, C_N1，邻接矩阵A(G)表示为

再将每层中的N₂N₃…N_n个顶点依次分成N₂层，每层N₃N₄…N_n个顶点，此时得到层为C_{1, 1}, C_{1, 2}, …, C_{i1, i2}, …, C_{N1, N2}，邻接矩阵A(G)中的子块A_{i1, j1}表示为

按此方法，依次将子块分割，直至进行(n－1)次分层，最终得到N₁N₂…N_n-1个层，其中有${v_{{i_1}, {i_2}, \ldots , {i_{n - 1}}}}, {i_n} = ({i_1} - 1){N_2} \ldots {N_n} + ({i_2} - 1){N_3} \ldots {N_n} + \ldots $ $ + {\rm{ }}({i_{n - 1}} - 1){N_n} + {i_n}({i_1} = 1, 2, \ldots , {N_1};{i_2} = 1, 2, \ldots , {N_2};{\rm{ }} \ldots ;{i_{n - 1}} = 1, 2, \ldots , {N_{n - 1}}).{\rm{ }}{C_{{i_1}, {i_2},\ldots , {i_{n - 1}}}} $ $ = \{ {v_{{i_1}, {i_2}, \ldots , {i_{n - 1}}}}, 1, {v_{{i_1}, {i_2}, \ldots , {i_{n - 1}}}}, 2, \ldots , {v_{{i_1}, {i_2}, \ldots , {i_{n - 1}}}}, {N_n}\} $.第(n－1)次分层后，将(n－2)次分层得到的邻接矩阵中的子块A_{i1i2…in－2, j1j2…jn－2}表示为

文献[11]给出了两体量子系统中图的部分对称定义，本课题组将其推广到多体量子系统，定义如下：

定义7   设图G是有N₁N₂…N_n个顶点的简单图，将图的顶点分层后，当$ ({v_{{i_1}, {i_2}, \ldots , {i_n}}}, {v_{{j_1}, {j_2}, \ldots , {j_n}}}) \in E\left( G \right)$时，也有$ ({v_{{j_1}, {i_2}, \ldots , {i_n}}}, {v_{{i_1}, {j_2}, \ldots , {j_n}}}) \in E\left( G \right)$，称图G是部分对称图.

为了讨论多体系统中并图的可分性，根据多体系统图的分层方式推广并图的定义如下：

定义8   设G是带有N_n个顶点的简单图，则${N_1}G = G \cup G \cup \ldots \cup G $ (N₁个图G的并).令${N_1}{N_2}G = {N_1}({N_2}G) = {N_1}G \cup {N_1}G \cup \ldots \cup {N_1}G $ (N₂个图N₁G的并)；${N_1}{N_2} \ldots {N_{n - 1}}G = {\rm{ }}{N_1}({N_2}( \ldots {N_{n - 1}}\left( G \right))) = G \cup \ldots \cup G $，(N₁N₂…N_n－1个图G的并).

根据多体系统在图顶点的分层方式，对并图N₁N₂…N_n-1G进行分层，可依次得到N₁个C_i1类的层；N₁N₂个C_{i1, i2}类的层，最后得到了N₁N₂…N_n-1个C_{i1, i2, …, in－1}类的层.

接下来分析N₁N₂…N_n-1G的可分性.根据并图N₁N₂…N_n-1G的定义，可以将它的邻接矩阵和度数矩阵表示成形式

式中diag表示对角矩阵.再根据拉普拉斯矩阵的定义，可以得到

根据等式(5)~(8)可以得到如下定理.

定理1   设图G是一个有N_n个顶点的简单图，对于并图N₁N₂…N_n-1G，ρ_l(N₁N₂…N_n-1G)代表一个N₁×N₂×…×N_n维的可分态.

证明：由以上各式得

因为$ \frac{{{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{N_1}}}}}{{{N_1}}}, \frac{{{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{N_2}}}}}{{{N_2}}}, \ldots , \frac{{{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{N_{n - 1}}}}}}{{{N_{n - 1}}}}, \frac{{\mathit{\boldsymbol{L}}\left( G \right)}}{{{\rm{tr}}\left( {\mathit{\boldsymbol{L}}\left( G \right)} \right)}}$都是密度矩阵，所以ρ_l(N₁N₂…N_n-1G)是可分的.

3.   图G◇H的可分性

首先，给出三体量子系统${H_1} \otimes {H_2} \otimes {H_3} $中图G◇H的定义，设H₁、H₂、H₃的维数分别为m、n、q.

定义9  设三体量子系统是m×n×q维的，图G是一个带有q个顶点的简单图.设图H是一个带有mnq个顶点的简单图，将其顶点分层后，满足以下5个条件：

1) 对于所有层C_i(i=1, 2, …, m)同层顶点间没有边；

2) 对于任意层C_i和C_j，或者层之间顶点没有边相连，或者A_{i, k}=A_{j, l}(i, j, k, l=1, 2, …, m；i≠k并且j≠l)；

3) 对于任意层C_{i, s}和C_{j, u}，或者层之间顶点没有边相连，或者A_{is, kt}=A_{ju, lv}(i, j, k, l=1, 2, …, m; s, t, u, v=1, 2，…, n；i≠k或s≠t且j≠l或u≠v)；

4) 所有顶点间的度数相同；

5) ρ_l(H)在${H_1} \otimes {H_2} \otimes {H_3} $系统中是可分的.

将图H的每个层C_{i, s}中的顶点和边全部用图G代替，得到的图记为G◇H，其中V(G◇H)=V(H).

下面给出图G◇H的性质.

引理1   A(G◇H)=A(mnG)+A(H).

证明：因为图H满足同层顶点无边相连，所以A(H)对角线上的分块矩阵都是零矩阵，而A(mnG)除对角线上的分块矩阵外全部是零矩阵，并且对角线上的分块矩阵全是A(G).通过图mnG和图G◇H的定义可以得到

引理2   D(G◇H)=D(mnG)+D(H).

证明：任取V(G◇H)中的点v_{i, j, k}，如果(v_{i, j, k}, v_{s, u, t})∈E(G◇H)，则(v_{i, j, k}, v_{s, u, t})∈E(mnG)或E(H)，所以d_G◇H(v_{i, j, k})≤d_mnG(v_{i, j, k})+d_H(v_{i, j, k}).

如果(v_{i, j, k}, v_{s, u, t})∈E(H)，则(v_{i, j, k}, v_{s, u, t}) $ \notin $ E(mnG)并且(v_{i, j, k}, v_{s, u, t})∈E(G◇H).如果(v_{i, j, k}, v_{s, u, t})∈E(mnG)，则(v_{i, j, k}, v_{s, u, t}) $ \notin $ E(H)并且(v_{i, j, k}, v_{s, u, t})∈E(G◇H).因此，d_G◇H(v_{i, j, k})≥d_mnG(v_{i, j, k})+d_H(v_{i, j, k}).

所以有d_G◇H(v_{i, j, k})=d_mnG(v_{i, j, k})+d_H(v_{i, j, k}).

引理3   L(G◇H)=L(mnG)+L(H)

Q(G◇H)=Q(mnG)+Q(H)

证明：由拉普拉斯矩阵的定义和引理1~2得

类似地可得：Q(G◇H)=Q(mnG)+Q(H).

根据定理1以及引理1~3可得到图G◇H的可分性.

定理2  图G◇H代表一个m×n×q维三体量子系统的可分态，即ρ_l(G◇H)是可分的.

证明：由图G◇H的定义及对应拉普拉斯矩阵的性质可得

由定理1可知ρ_l(mnG)是可分的，且ρ_l(mnG)= $ \frac{{{\mathit{\boldsymbol{I}}_m}}}{m} \otimes \frac{{{\mathit{\boldsymbol{I}}_n}}}{n} \otimes \frac{{\mathit{\boldsymbol{L}}\left( G \right)}}{{{\rm{tr}}\left( {\mathit{\boldsymbol{L}}\left( G \right)} \right)}}$ (I_m、I_n分别是m、n阶单位矩阵)；由图G◇H的定义可知ρ_l(H)是可分的，所以${\mathit{\boldsymbol{\rho }}_l}\left( H \right) = \sum\limits_i {{q_i}\mathit{\boldsymbol{\rho }}_i^1 \otimes \mathit{\boldsymbol{\rho }}_i^2 \otimes \mathit{\boldsymbol{\rho }}_i^3} $.则

而且，各项的系数和为

因此，ρ_l(G◇H)是可分的.

类似地，给出多体量子系统中图G◇H的定义，并分析其性质和可分性.

定义10  设多体量子系统的n个子系统为H₁, H₂, …, H_n，其中H_i的维数为N_i(i=1, 2, …, n).图G是一个带有N_n个顶点的简单图.图H是一个带有N₁N₂…N_n个顶点的部分图，将其顶点分层后，满足以下6个条件：

1) 对于所有层C_i1(i=1, 2, …, N₁)，同层顶点间没有边；

2) 对于任意层C_i1和C_j1，或者层之间顶点没有边相连，或者A_{i1, j1}=A_{k1, l1}(i₁, j₁, k₁, l₁=1, 2, …, N₁；i₁≠j₁并且k₁≠l₁)；

3) 对于任意层C_{i1, i2}和C_{j1, j2}，或者层之间顶点没有边相连，或者A_{i1i2, j1j2}=A_{k1k2, l1l2}(i₁, j₁, k₁, l₁= 1, 2, …, N₁；i₂, j₂, k₂, l₂=1, 2, …, N₂；i₁≠j₁或i₂≠j₂并且k₁≠l₁或k₂≠l₂)；

4) 依次地每次分层产生的层都满足类似的条件，最终对所有的层C_{i1, …, in－1}和C_{j1, …, jn－1}，或者2层间无边，或者A_i1…in－1, j₁…j_n－1=A_k1…kn－1, l₁…l_n－1(i_p, j_p, k_p, l_p= 1, …, N_p, p=1, …, n－1；$ \exists $ h₁，h₂∈{1, 2, …, n}使得i_h1≠j_h1且k_h2≠k_h2)；

5) 所有顶点间的度数相同；

6) ρ_l(H)在H₁ $ \otimes $ H₂$ \otimes $…$ \otimes $H_n中是可分的.

将图H的每个层C_{i1, …, in－1}中的顶点和边用图G代替，得到一个多体系统下的新图，记为G◇H，其中V(G◇H)=V(H).

利用以上三体量子系统中的研究方法，可得如下结论.

引理4    A(G◇H)=A(N₁N₂…N_n－1G)+A(H)

引理5   D(G◇H)=D(N₁N₂…N_n－1G)+D(H)

引理6    L(G◇H)=L(N₁N₂…N_n－1G)+L(H)

Q(G◇H)=Q(N₁N₂…N_n－1G)+Q(H)

定理3   图G◇H代表一个N₁×N₂×…×N_n维多体可分态，即ρ_l(G◇H)是可分的.

4.   结论

1) 在多体量子系统中，设图G是带有N_n个顶点的简单图，则并图N₁N₂…N_n-1G是代表维数为N₁×N₂×…×N_n的可分态.

2) 在维数为m×n×q的三体量子系统中，图G是带有q个顶点的简单图，图H是带有mnq个顶点的部分对称图且满足一些条件，则图G◇H是可分态.

3) 在维数为N₁×N₂×…×N_n多体系统中，图G是带有N_n个顶点的简单图，图H是带有N₁N₂…N_n个顶点的部分对称图且满足一些条件，则图G◇H代表一个可分态.