设ℂ为复数域，M_n(ℂ)表示域ℂ上n×n矩阵组成的全矩阵代数，除特殊说明外文中的代数、Hopf代数和⊗均定义在复数域ℂ上，所有模均是在复数域ℂ上有限维结合代数的左模.

作为Hopf代数的一种推广，1998年Li^[1]引入了弱Hopf代数的概念，随后他和Duplij^[2]给出2个弱Hopf代数的例子，它们是由U_q(sl₂)扩张而成的弱Hopf代数. 2005年Yang在文献[3]中给出了对应于Cartan矩阵的弱Hopf代数以及它们的PBW基. Cheng等^[4-5]进一步考虑了对应于U_q(sl₂)的弱Hopf代数，然后将相关结果推广到对应于U_q(sl_n)的弱Hopf代数上，Cheng^[6]用同样的方法研究了相应于Sweedler代数的弱Hopf代数.

近年来，关于Hopf代数的Green环的研究日渐兴起并成为热点. Chen等在文献[7]中考虑了Taft代数H_n(q)的Green环r(H_n(q))的生成元和生成关系；Li等^[8]在文献[7]的基础上确定了广义Taft Hopf代数H_{n, d}(q)的Green环r(H_{n, d}(q))的结构，给出了它的所有幂零元的表达式.实际上，若一个有限维结合代数A带有一个代数同态Δ:A→A⊗A，并且满足(Δ⊗id)Δ=(id⊗Δ)Δ(称A为Δ-结合代数)，那么同样可以定义A的Green环或表示环.研究Δ-结合代数的Green环是一项很有意义的工作.

本文主要考虑2类特殊的有限维Δ-结合代数的Green环，这2类代数均是由唯一的非交换非余交换的八维半单Hopf代数H₈扩张而得.首先回顾H₈的定义并给出它的一些性质.然后，把H₈扩张成一个弱Hopf代数$ {\tilde H_8} $(Li定义下的弱Hopf代数)，并确定了$ {\tilde H_8} $的Green环r($ {\tilde H_8} $)的生成元和生成关系.最后，把H₈扩张成一个Δ-结合代数$ {\hat H_8} $，它不是一个弱Hopf代数.引入Δ-结合代数Green环的定义并考虑$ {\hat H_8} $的Green环结构，注意到它不含单位元.

1.   预备知识

与Hopf代数相关的理论和知识可参见文献[9].

定义1  设A是一个带有代数同态Δ:A→A⊗A的有限维结合代数，若(Δ⊗id)Δ=(id⊗Δ)Δ，则称A为Δ-结合代数.

注意到所有的Hopf代数、双代数均是Δ-结合代数.设A为Δ-结合代数，沿用Sweedler记号，任意的a∈A记$ \Delta \left( a \right) = \sum\limits_{\left( a \right)} {{a_{(1)}}} m \otimes {a_{(2)}}n $，设M和N是2个A-模，任意的m∈M，n∈N，a∈A，定义$ a\cdot\left( {m \otimes n} \right) = \sum\limits_{\left( a \right)} {{a_{(1)}}} m \otimes {a_{(2)}}n $，则M⊗N也是A-模.记A-模M的同构类为[M]，R(A)是由所有的[M]生成的自由Abel群，对任意A-模M和N，在R(A)上定义

容易验证该乘法满足结合律和左、右分配律，从而R(A)是环；该环模去所有关系式

所得的商环称为代数A的表示环或Green环，记为r(A).

Hopf代数H₈的定义和性质可参阅文献[10].

H₈是唯一的非交换非余交换的八维半单Hopf代数，它由s、t、c生成，且满足

其余代数结构为

对极为

容易知道H₈有一组基为{1, s, t, c, st, cs, sc, cst}，并且

所以H₈的所有不可约模即为不可分解模.

引理1  Hopf代数H₈有4个不同构的一维不可约模S_m(m∈ℤ₄)，和1个二维的不可约模S，它们的H₈-模结构为

证明   直接验证.

引理2  作为H₈-模，有下面结论：

1) 如果m+m′(m, m′∈ℤ₄)为奇数，那么S_m⊗S_m′≅S_m+m′(mod4)；如果m+m′为偶数，那么S_m⊗S_m′≅S_{m－m′(mod4)}.

2) $ S \otimes {S_m} \cong {S_m} \otimes S \cong S, S \otimes S \cong \mathop \oplus \limits_m {S_m}$.

证明   沿用引理1的记号.

1) 假设{v^(m)⊗v^(m′)}是S_m⊗S_m′的一组基，其中v^(m)∈S_m, v^(m′)∈S_m′，那么S_m⊗S_m′作为H₈-模有

当m+m′为奇数时

当m+m′为偶数时

因此如果m+m′为奇数，那么

如果m+m′为偶数，那么

2) 假设{v^(m)⊗v_j}和{v_j⊗v^(m)}分别是S_m⊗S和S⊗S_m的一组基，其中v^(m)∈S_m, v_j∈S, j=1, 2.那么S_m⊗S和S⊗S_m作为H₈-模有

当m－j为奇数时

当m－j为偶数时

而且

当m－j为奇数时

当m－j为偶数时

显然m=0时，S⊗S₀≅S₀⊗S≅S.

当m=1时，令

容易验证{w₁, w₂}也是S₁⊗S的一组基，并且有

所以S₁⊗S≅S，类似方法可证S⊗S₁≅S.同理可得m=2、m=3时的情形.所以

假设{v_j⊗v_j′}是S⊗S的一组基，其中v_j, v_j′∈S, j, j′=1, 2.那么S⊗S作为H₈-模有

当j+j′为奇数时

当j+j′为偶数时

令

容易证明{u′_n}(n∈ℤ₄)也是S⊗S的一组基，并且有

因此$ S \otimes S \cong \mathop \oplus \limits_m {S_m}$.

推论1  设M和N是任意的2个有限维H₈-模，那么有一个H₈-模同构

2.   H₈的弱Hopf代数及其Green环

本节首先把H₈扩张成一个弱Hopf代数$ {\tilde H_8} $，然后给出它的Green环r($ {\tilde H_8} $)的生成元和生成关系.

设$ {\tilde H_8} $是由g、h、x生成，且满足

在生成元上定义$ \Delta :{{\tilde{H}}_{8}}\to {{\tilde{H}}_{8}}\otimes {{\tilde{H}}_{8}}、\varepsilon :{{\tilde{H}}_{8}}\to \mathbb{C}、T:{{\tilde{H}}_{8}}\to {{\tilde{H}}_{8}} $如下：

命题1   映射Δ、ε、T可自然地扩充到$ {{\tilde{H}}_{8}} $上使之是一个弱Hopf代数.

证明  令m和η是$ {{\tilde{H}}_{8}} $的乘法和单位.首先证明($ {{\tilde{H}}_{8}} $, m, η, Δ, ε)是一个双代数，易知

由于

又因为

因此Δ和ε保持关系式(1)，Δ和ε分别扩展为从$ {{\tilde{H}}_{8}} $到$ {{\tilde{H}}_{8}}\otimes {{\tilde{H}}_{8}} $和从$ {{\tilde{H}}_{8}} $到ℂ的代数同态.另一方面易知对任意X=g、h或x有

从而$ {{\tilde{H}}_{8}}$是一个双代数.

下面证明T诱导了$ {{\tilde{H}}_{8}} $上的弱对极，即有T*id *T=T以及id*T*id=id.容易知道

由于

因此T保持x=hxg的反代数关系，同理T也保持x=gxh的反代数关系，进一步地

从而T可扩展为$ {{\tilde{H}}_{8}} $到$ {{\tilde{H}}_{8}}$的反代数同态.

一方面，有

另一方面，有

于是对任意的a∈$ {{\tilde{H}}_{8}}$，可得id*T(a)和T*id(a)均是$ {{\tilde{H}}_{8}}$的中心中的元素.如果a，b∈$ {{\tilde{H}}_{8}}$且

那么有

从而T可扩充成$ {{\tilde{H}}_{8}}$上的弱对极.

容易证明g²和1－g²是$ {{\tilde{H}}_{8}}$的一对正交中心幂等元，令W₂=$ {{\tilde{H}}_{8}}$(1－g²)，那么有下面的命题.

命题2  作为代数$ {{\tilde{H}}_{8}}$可分解成2个理想的直和

且W₁同构于H₈，W₂同构于平凡子代数ℂ.

证明  因为g²和1－g²是$ {{\tilde{H}}_{8}}$的一对正交中心幂等元，所以

定义φ:W₁→H₈为

容易验证φ是一个同构.

由于x=hxg(或x=gxh)，因此xg²=hxgg²=hxg=x(或xg²=gxhg²=gxh=x)，从而x(1－g²) =0.令ψ:W₂→ℂ为

验证得W₂≅ℂ.

易知$ {{\tilde{H}}_{8}}$是半单的，它有一组基为

引理3  弱Hopf代数$ {{\tilde{H}}_{8}}$有5个不同构的一维不可约模S_m(m∈ℤ₄)和S₄以及1个二维的不可约模S，它们的$ {{\tilde{H}}_{8}}$-模结构为

证明  由命题2和引理1立得.

命题3  作为$ {{\tilde{H}}_{8}}$-模，有下面结论：

1) 如果m+m′(m, m′∈ℤ₄)为奇数，那么S_m⊗S_m′≅S_m+m′(mod4)；如果m+m′为偶数，那么S_m⊗S_m′≅S_{m－m′(mod4)}.

2) $S\otimes {{S}_{m}}\cong {{S}_{m}}\otimes S\cong S, S\otimes S\cong \underset{m}{\mathop{\oplus }}\, {{S}_{m}} $.

3) S₄⊗S_m≅S_m⊗S₄≅S₄⊗S₄≅S₄，S₄⊗S≅S⊗S₄≅S₄⊕S₄.

证明   1) 和2) 见引理2的证明.

3) 假设{v^(m)⊗v⁽⁴⁾}和{v⁽⁴⁾⊗v^(m)}分别是S_m⊗S₄和S₄⊗S_m的一组基，其中v^(m)∈S_m，v⁽⁴⁾∈S₄，那么S_m⊗S₄和S₄⊗S_m作为$ {{\tilde{H}}_{8}}$-模有

而且

因此S₄⊗S_m≅S_m⊗S₄≅S₄，同理得S₄⊗S₄≅S₄.

假设{v_j⊗v⁽⁴⁾}和{v⁽⁴⁾⊗v_j}分别S⊗S₄和S₄⊗S的一组基，其中v_j∈S，j=1, 2. v⁽⁴⁾∈S₄，那么S⊗S₄和S₄⊗S作为$ {{\tilde{H}}_{8}}$-模有

而且

因此S₄⊗S≅S⊗S₄≅S₄⊕S₄.

由命题3可知弱Hopf代数$ {{\tilde{H}}_{8}}$的Green环r($ {{\tilde{H}}_{8}}$)是一个交换环.

定理1  r($ {{\tilde{H}}_{8}}$)同构于ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄]/I，其中I是多项式环ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄]的理想，它由关系式y₁²－1、y₂²－1、y₃y₁－y₃、y₃y₂－y₃、1+y₁+y₂ +y₁y₂－y₃²、y₄²－y₄、y₃y₄－2y₄生成.

证明  令x₁=[S₁]，x₂=[S₂]，x₃=[S]，x₄=[S₄]，由命题3知r($ {{\tilde{H}}_{8}}$)是由x₁，x₂，x₃，x₄生成的含有单位元[S₀]的环，因此存在一个环满同态

使得ϕ(y_i)=x_i(i=1, 2, 3, 4).另一方面，由命题3知

所以

因此ϕ(I)=0，从而ϕ诱导了一个满同态

使得对任意的v∈ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄]，有

式中：$ \bar{v}=\pi \left( v \right), \text{ }\pi :\mathbb{Z}[{{y}_{1}}, {{y}_{2}}, {{y}_{3}}, {{y}_{4}}\left] \to \mathbb{Z} \right[{{y}_{1}}, {{y}_{2}}, {{y}_{3}}, {{y}_{4}}]/I$.

易得r($ {{\tilde{H}}_{8}}$)是一个秩为6的自由ℤ-模，它的一组基为{1, x₁, x₂, x₃, x₄, x₁x₂}，因此定义一个ℤ-模同态

为

显然ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄]/I作为ℤ-模是由{1-, y₁, y₂, y₃, y₄, y₁y₂}张成的，由于

因此ψϕ=id，ϕ是单射，所以ϕ是一个同构.

3.   H₈的Δ-结合代数及其Green环

本节首先把H₈扩张成一个Δ-结合代数$ {\hat H_8} $，然后找到它的Green环r($ {\hat H_8} $)的含单位元的扩环r^*($ {\hat H_8} $)，确定r^*($ {\hat H_8} $)的生成元和生成关系.

设$ {\hat H_8} $由e、f、y生成，且满足

在生成元上定义Δ: $ {\hat H_8} $→ $ {\hat H_8} $⊗ $ {\hat H_8} $为

命题4  映射Δ可自然地扩充到$ {\hat H_8} $上，使之是一个Δ-结合代数.

证明  首先证明Δ是代数同态，易知

由于

同理可得

因此Δ保持关系式(2)，Δ扩展为从$ {\hat H_8} $到$ {\hat H_8} $⊗ $ {\hat H_8} $的代数同态.另一方面易知对任意Y=e，f或y有

所以$ {\hat H_8} $是Δ-结合代数.

注：$ {\hat H_8} $不是弱Hopf代数.实际上，若$ {\hat H_8} $是弱Hopf代数，则可定义ε: $ {\hat H_8} $→ℂ是余单位，此时容易得到ε(1)=ε(e)=ε(f)=ε(y)=1且ε为代数同态，然而与(ε⊗id)Δ(y)=(id⊗ε)Δ(y)=e²y≠id(y)矛盾.

容易证明e²和1－e²是$ {\hat H_8} $的一对正交中心幂等元，令W₃= $ {\hat H_8} $e²，W₄= $ {\hat H_8} $(1－e²)，那么有如下命题.

命题5  作为代数$ {\hat H_8} $可分解为2个理想的直和

且W₃同构于H₈，W₄同构于由单个元素z生成的2-维代数A，满足z²=0.

证明  因为e²和1－e²是$ {\hat H_8} $的一对正交中心幂等元，所以

定义φ:W₃→H₈为

容易验证φ是一个同构.

由于y(1－e²)≠0，但是

因此令ψ:W₄→A为

易得W₄≅A.

$ {\hat H_8} $(作为代数)同构于H₈⊕A是一个十维代数，它有一组基为{1, e, f, y, e², ef, ye, ey, e²y, yef}.

引理4  Δ-结合代数$ {\hat H_8} $有5个不同构的一维不可约模S_m(m∈ℤ₄)和S₄以及2个不同构的二维不可分解模S和S′，它们的$ {\hat H_8} $-模结构为

证明  由命题5和引理1立得.

命题6   作为$ {\hat H_8} $-模，有下面结论：

1) 如果m+m′(m, m′∈ℤ₄)为奇数，那么S_m⊗S_m′≅S_m+m′(mod4)；如果m+m′为偶数，那么S_m⊗S_m′≅S_{m－m′(mod4)}.

2) $ S\otimes {{S}_{m}}\cong {{S}_{m}}\otimes S\cong S, S\otimes S\cong \underset{m}{\mathop{\oplus }}\, {{S}_{m}} $.

3) S₄⊗S_m≅S_m⊗S₄≅S₄⊗S₄≅S₄，S₄⊗S≅S⊗S₄≅S₄⊕S₄.

4) S_m⊗S′≅S′⊗S_m≅S′⊗S₄≅S₄⊗S′ ≅S₄⊕S₄.

5) S⊗S′≅S′⊗S≅S′⊗S′≅S₄⊕S₄⊕S₄⊕S₄.

证明  1)、2) 和3) 见命题3的证明.

4) 假设{v^(m)⊗v_k}和{v_k⊗v^(m)}分别是S_m⊗S′和S′⊗S_m的一组基，其中v^(m)∈S_m，v_k∈S′，k=1, 2.那么S_m⊗S′和S′⊗S_m作为$ {\hat H_8} $-模有

而且

因此S_m⊗S′≅S′⊗S_m≅S₄⊕S₄，容易证明S′⊗S₄≅S₄⊗S′≅S₄⊕S₄.

5) 假设{v_j⊗v_k}和{v_k⊗v_j}分别S⊗S′和S′⊗S的一组基，其中v_j∈S，v_k∈S′，j, k=1, 2.那么S⊗S′和S′⊗S作为$ {\hat H_8} $-模有

而且

因此S⊗S′≅S′⊗S≅S₄⊕S₄⊕S₄⊕S₄，容易证明

由命题6知Δ-结合代数$ {\hat H_8} $的Green环r($ {\hat H_8} $)是一个不含单位元的交换环.令

任取(k, α)、(l, β)∈r^*($ {\hat H_8} $)，规定

当且仅当k=l，α=β.

定义加法和乘法为

则r^*($ {\hat H_8} $)是含有单位元(1, 0) 的环，且

定理2  r^*($ {\hat H_8} $)同构于ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄, y₅]/I，其中I是多项式环ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄, y₅]的理想，它由关系式y₁²－y₂²、y₁³－y₁、y₂³－y₂、y₃y₁－y₃、y₃y₂－y₃、y₁y₅－2y₄、y₂y₅－2y₄、y₁²+y₁ +y₂+y₁y₂－y₃²、y₃y₅－4y₄、y₅²－4y₄生成.

证明  令x₁=[S₁]，x₂=[S₂]，x₃=[S]，x₄=[S₄]，x₅=[S′]，由命题6知r($ {\hat H_8} $)中的任意元素形式为$ \sum\limits_{{{k}_{1}}+\cdots +{{k}_{5}}>0}{{{a}_{{{k}_{1}}\cdots {{k}_{5}}}}x_{1}^{{{k}_{1}}}x_{2}^{{{k}_{2}}}\cdots x_{5}^{{{k}_{5}}}} $，其中a_{k1k2… k5}, k₁, …, k₅∈ℤ，则

定义

为ϕ(1)=(1, 0)，ϕ(y_i)=(0, x_i)(i=1, 2, 3, 4, 5)，则ϕ可以自然扩充成环同态且是满的.实际上，任意的v∈ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄, y₅]可表示为

其中k、a_i1i2…i5，以及i₁, …, i₅∈ℤ，那么

另一方面，由命题6知

可得

所以

因此ϕ(I)=(0, 0)，从而ϕ诱导了一个满同态

使得对任意的v∈ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄, y₅]，有

式中v=π(v)，π:ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄, y₅]→ ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄, y₅]/I.

易得r^*($ {\hat H_8} $)是一个秩为8的自由ℤ-模，它的一组基为

因此定义一个ℤ-模同态

为

显然ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄, y₅]/I作为ℤ-模是由$ \{\bar{1}, {{\bar{y}}_{1}}, {{\bar{y}}_{2}}, {{\bar{y}}_{3}}, {{\bar{y}}_{4}}, {{\bar{y}}_{5}}, y_{_{1}}^{^{2}}, {{\bar{y}}_{1}}{{\bar{y}}_{2}}\} $张成的，由于

因此ψϕ=id，ϕ是单射，所以ϕ是一个同构.

4.   结论

1) 弱Hopf代数$ {{\tilde{H}}_{8}}$ $的Green环r($ {{\tilde{H}}_{8}}$)是一个交换环，且同构于多项式环ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄]的商环, 见定理1.

2) Δ-结合代数$ {{\hat{H}}_{8}}$的Green环r($ {\hat H_8} $)是一个不含单位元的交换环.通过环扩充得到r($ {\hat H_8} $)的扩环r^*($ {\hat H_8} $)，r^*($ {\hat H_8} $)是含有单位元的交换环，其同构于多项式环ℤ[y₁, y₂, y₃, y₄, y₅]的商环, 见定理2.