Hilbert空间中<i>K</i>-g-框架的和

张伟; 付艳玲

doi:10.11936/bjutxb2016040081

Hilbert空间中K-g-框架的和

张伟^1,,
付艳玲^2, ,

1.
北京工业大学应用数理学院, 北京 100124
2.
河南财政金融学院信息工程系, 郑州 451464

基金项目:

国家自然科学基金资助项目 11271037

河南省自然科学基金资助项目 162300410191

详细信息

作者简介:
张伟(1979-), 男, 博士研究生, 主要从事小波分析及应用、标架理论及应用方面的研究, E-mail:zwfylhappy@126.com

通讯作者:
付艳玲(1978-), 女, 讲师, 主要从事标架理论及应用、粗糙集理论方面的研究, E-mail:fylhappy@126.com

中图分类号: O174.2
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出版历程
- 收稿日期: 2016-04-23
- 网络出版日期: 2022-08-03
- 发布日期: 2017-08-09
- 刊出日期: 2017-08-14

Sums of K-g-frames in Hilbert Space

ZHANG Wei^1,,
FU Yanling^2, ,

1.
College of Applied Sciences, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China
2.
Department of Information Engineering, Henan Institute of Finance and Banking, Zhengzhou 451464, China

摘要

摘要:
为了研究Hilbert空间中有限个K-g-框架的和，基于Hilbert空间中通常的框架理论，利用K-g-框架诱导出的K-框架和K-g-框架的框架算子的方法，得到一些由有限个K-g-框架的和构成的K-g-框架充分条件，这样可以利用已有的K-g-框架构造出新的K-g-框架.
- g-框架 /
- K-g-框架 /
- 框架算子
Abstract:
Based on the frame theorem of Hilbert spaces and by using the method of K-g-frames induced K-frames and K-g-frames operators, the sum of finitely many K-g-frames was addressed, and some sufficient conditions for the sum of finitely many K-g-frames was obtained to be a K-g-frame. The results provide us with a new method to construct K-g-frames.
- g-frame /
- K-g-frame /
- frame operator

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Hilbert空间中的框架概念最早是Duffin等^[1]1952年在研究非调和Fourier级数时引入的.框架可以看作标准正交基的推广，可以用稳定的方式表示空间中的任意元素但不要求是正交并且表达不一定唯一.直到1986年，Daubechies等^[2]的突破性研究，才使框架理论被众多学者所关注.如今它已被广泛地应用到信号图像处理、采样理论、互联网、通信编码及神经网络等诸多重要领域；随着对Hilbert空间中框架理论及其应用研究的不断深入，出现了许多框架的推广形式，例如子空间框架(Fusion框架)、连续框架、g-框架等，这些推广极大地丰富了框架理论^[3-5].

2012年，Gǎvruta^[6]在研究有界线性算子K的原子分解系统时，引入了K-框架.一般框架通常在整个空间上研究，而K-框架则限制在给定的一个有界线性算子的值域上研究，这在实际应用中更具灵活性，K-框架可以看作一般框架的一种推广. g-框架是基于投影算子提出的一个广义框架，它同样推广了一般框架. K-g-框架^[7-9]综合了K-框架和g-框架的性质，是K-框架和g-框架的一个推广，它取特殊情况可得到K-框架、g-框架和一般框架.但是，g-框架的一些性质对于K-g-框架而言未必成立，比如对g-框架而言，Hilbert空间中算子列构成g-框架等价于其合成算子是满的，但对K-g-框架而言这条件变为其合成算子是有界的，且Range(K)⊂Range(Q)，其中Q为其合成算子.本文主要从2种不同的角度讨论有限个K-g-框架的和构成K-g-框架条件，一种从K-g-框架诱导出的K-框架的角度讨论，另一种从K-g-框架的框架算子的角度讨论.并且给出2个K-g-框架分别在不同的线性算子作用下的和构成K-g-框架的条件.由于K-g-框架的框架算子是不可逆的，这样与g-框架相比也有一些不同之处，比如对于g-框架能给出有限个g-框架的和构成g-框架的充分必要条件，而对于K-g-框架只给出了充分条件.

设U、V是可分的复Hilbert空间，{V_j}_j∈J是V的闭子空间序列，其中J是整数集ℤ的子集，记L(U, V)为从U到V的所有有界线性算子的集合.线性空间l²({V_j}_j∈J)定义为

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{l^2}\left( {{{\left\{ {{V_j}} \right\}}_{j \in J}}} \right) = }\\ {\left\{ {{{\left\{ {{a_j}} \right\}}_{j \in J}}:{a_j} \in {V_j},j \in J\;且\;\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {{a_j}} \right\|}^2} < \infty } } \right\}} \end{array} $$

其内积为

$$ \left\langle {{{\left\{ {{g_j}} \right\}}_{j \in J}},{{\left\{ {{h_j}} \right\}}_{j \in J}}} \right\rangle = \sum\limits_{j \in J} {\left\langle {{g_j},{h_j}} \right\rangle } $$

那么l²({V_j}_j∈J)是一个复Hilbert空间.文中0≠K∈L(U)，L(U)为从U到U的所有有界线性算子的集合，K^*是K的伴随算子，如果T∈L(U, V)，Range(T)和Ker(T)分别表示T的值域和核.

设{$ {{\tilde{e}}_{j, k}} $}_{k∈K_j}是V_j上的一个标准正交基，其中K_j是整数集ℤ的子集，对任意的j∈J，k∈K_j，定义e_{j, k}={δ_{j, k}, $ {{\tilde{e}}_{j, k}} $}，j∈J，这里δ_{j, k}是Kronecker delta，则容易验证{e_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}是l²({V_j}_j∈J)上的标准正交基^[4].

定义1^[4] 算子列{Λ_j}_j∈J称为U关于{V_j}_j∈J的g-框架，如果存在常数A, B>0使得对任意的f∈U，有

$$ A{\left\| f \right\|^2} \le \sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}f} \right\|}^2}} \le B{\left\| f \right\|^2} $$

如果只有右边不等式成立，则称{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的g-Bessel序列；如果A=B，则称{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的紧g-框架；如果A=B=1，则称{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的Parseval g-框架.

假设{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的g-Bessel序列，其合成算子Q、分析算子Q^*以及框架算子S的定义分别为

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {Q:{l^2}\left( {{{\left\{ {{V_j}} \right\}}_{j \in J}}} \right) \to U,Q\left( {{{\left\{ {{g_j}} \right\}}_{j \in J}}} \right) = \sum\limits_{j \in J} {\mathit{\Lambda }_j^ * {g_j}} }\\ {{Q^ * }:U \to {l^2}\left( {{{\left\{ {{V_j}} \right\}}_{j \in J}}} \right),{Q^ * }f = {{\left\{ {{\mathit{\Lambda }_j}f} \right\}}_{j \in J}}}\\ {S:U \to U,Sf = \sum\limits_{j \in J} {\mathit{\Lambda }_j^ * {\mathit{\Lambda }_j}f} } \end{array} $$

定义2^[7] 算子列{Λ_j}_j∈J称为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架，如果存在常数A, B>0使得对任意的f∈U，有

$$ A{\left\| {{K^ * }f} \right\|^2} \le \sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}f} \right\|}^2}} \le B{\left\| f \right\|^2} $$

(1)

如果式(1) 在M上成立，其中

$$ M = \left\{ {\overline {\sum\limits_{j \in J} {\mathit{\Lambda }_j^ * {g_j}} :{g_j} \in {V_j},j \in J} } \right\} $$

则称{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架序列.

注1 由K-g-框架及g-Bessel序列定义，K-g-框架必为g-Bessel序列.

下面把紧框架推广到K-g-框架上^[8], 给出紧K-g-框架的定义.

定义3 设K∈L(U)，算子列{Λ_j}_j∈J称为U关于{V_j}_j∈J的紧K-g-框架，如果存在常数A>0，使得

$$ A{\left\| {{K^ * }f} \right\|^2} \le \sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}f} \right\|}^2}} ,\forall f \in U $$

(2)

如果A=1，则称{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的Parseval K-g-框架.

引理1^[6] 设H、H₁、H₂是复的Hibert空间，L₁∈L(H₁, H), L₂∈L(H₂, H)，则下列命题等价：

(1) Range(L₁)⊂Range(L₂)；

(2) 存在λ>0，满足L₁L₁^*≤λ²L₂L₂^*，即对任意的f∈H，有〈L₁L₁^*f, f〉≤λ²〈L₂L₂^*f, f〉；

(3) 存在线性有界算子T∈L(H₁, H₂)使得L₁=L₂T.

引理2^[6] 设H是一可分的Hilbert空间，则{f_n}_n=1^∞是H的K-框架的充分必要条件是存在一个线性有界算子L:l²→H满足f_n=Le_n和Range(K) ⊂Range(L)，其中{e_n}_n=1^∞是l²的一个标准正交基.

引理3^[11] 设H、H₁、H₂、H₃是复的Hibert空间，L₁∈L(H₁, H)，L₂∈L(H₂, H)，L₃∈L(H₃, H)，则下列命题等价：

(1) Range(L₁)⊂Range(L₂)⊂Range(L₃)；

(2) 存在λ>0，满足L₁L₁^*≤λ²(L₂L₂^*+L₂L₃^*)；

(3) 存在线性有界算子T₂∈L(H₁, H₃)、T₁∈L(H₁, H₂)使得L₁=L₂T₁+L₃T₂.

1. 主要结果及证明

对于给定的2个K-g-框架，它们的和一定是K-g-框架吗？回答是否定的，也就是说它们的和不一定能构成新的K-g-框架.

例1 设{e_n}_n=1^∞是U的一个标准正交基，令$ {{V}_{j}}=\overline{\text{span}}\{{{e}_{\left( j-1 \right)\text{ }k+m}}:1\le m\le k\} $, j=1, 2, …，其中k≥5是固定的正整数；定义线性有界算子K:U→U，A_j:U→V_j，Γ_j:U→V_j和Δ_j:U→V_j为

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {K{e_1} = {e_1},K{e_2} = {e_2},K{e_j} = 0,j \ge 3}\\ {{\mathit{\Lambda }_1}f = \sum\limits_{m = 1}^k {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle {e_m};{\mathit{\Lambda }_j}f = 0,j \ge 2} }\\ {{\mathit{\Gamma }_1}f = \sum\limits_{m = 1}^{k - 1} {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle {e_m};{\mathit{\Gamma }_j}f = 0,j \ge 2} }\\ {{\Delta _1}f = \sum\limits_{m = 1}^{k - 1} {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle {e_m};{\Delta _j}f = 0,j \ge 2} } \end{array} $$

容易计算K^*e₁=e₁, K^*e₂=e₂, K^*e_j=0, j≥3.下面验证{Λ_j}_j=1^∞、{Γ_j}_j=1^∞和{Δ_j}_j=1^∞均是K-g-框架，事实上

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {{K^ * }f} \right\|}^2} = }\\ {{{\left\| {\sum\limits_{j = 1}^\infty {\left\langle {f,{e_j}} \right\rangle {K^ * }{e_j}} } \right\|}^2} = {{\left| {\left\langle {f,{e_1}} \right\rangle } \right|}^2} + {{\left| {\left\langle {f,{e_2}} \right\rangle } \right|}^2}} \end{array} $$

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}f} \right\|}^2} = {{\left\| {{\mathit{\Lambda }_1}f} \right\|}^2} = } }\\ {{{\left\| {\sum\limits_{m = 1}^k {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle {e_m}} } \right\|}^2} = }\\ {\sum\limits_{m = 1}^k {{{\left| {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle } \right|}^2}} \ge {{\left\| {{K^ * }f} \right\|}^2}} \end{array} $$

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left\| {{\mathit{\Gamma }_j}f} \right\|}^2} = {{\left\| {{\mathit{\Gamma }_1}f} \right\|}^2} = } }\\ {{{\left\| { - \sum\limits_{m = 1}^{k - 1} {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle {e_m}} } \right\|}^2} = }\\ {\sum\limits_{m = 1}^{k - 1} {{{\left| {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle } \right|}^2}} \ge {{\left\| {{K^ * }f} \right\|}^2}} \end{array} $$

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left\| {{\Delta _j}f} \right\|}^2} = {{\left\| {{\Delta _1}f} \right\|}^2} = } }\\ {{{\left\| {\sum\limits_{m = 1}^{k - 1} {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle {e_m}} } \right\|}^2} = }\\ {\sum\limits_{m = 1}^{k - 1} {{{\left| {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle } \right|}^2}} \ge {{\left\| {{K^ * }f} \right\|}^2}} \end{array} $$

所以，对任意的f∈U, 有

$$ \begin{array}{l} {\left\| {{K^ * }f} \right\|^2} \le \sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}f} \right\|}^2} \le {{\left\| f \right\|}^2}} \\ {\left\| {{K^ * }f} \right\|^2} \le \sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left\| {{\mathit{\Gamma }_j}f} \right\|}^2}} \le {\left\| f \right\|^2}\\ {\left\| {{K^ * }f} \right\|^2} \le \sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left\| {{\Delta _j}f} \right\|}^2} \le {{\left\| f \right\|}^2}} \end{array} $$

但是，对于{Λ_j+Γ_j}_j=1^∞有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Gamma }_j}} \right)f} \right\|}^2}} = {{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_1} + {\mathit{\Gamma }_1}} \right)f} \right\|}^2} = }\\ {{{\left\| {\left\langle {f,{e_k}} \right\rangle {e_k}} \right\|}^2} = {{\left| {\left\langle {f,{e_k}} \right\rangle } \right|}^2} \le {{\left\| f \right\|}^2}} \end{array} $$

即{Λ_j+Γ_j}_j=1^∞是g-Bessel序列，而无法确定|〈f, e_k〉|²与‖K^*f‖²的大小关系，也就是说{Λ_j+Γ_j}_j=1^∞不一定是K-g-框架.而对于{Λ_j+Δ_j}_j=1^∞有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\Delta _j}} \right)f} \right\|}^2}} = }\\ {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_1} + {\Delta _1}} \right)f} \right\|}^2} = }\\ {{{\left\| {2\sum\limits_{m = 1}^{k - 1} {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle {e_m} + \left\langle {f,{e_k}} \right\rangle {e_k}} } \right\|}^2} = }\\ {2\sum\limits_{m = 1}^{k - 1} {{{\left| {\left\langle {f,{e_m}} \right\rangle } \right|}^2} + {{\left| {\left\langle {f,{e_k}} \right\rangle } \right|}^2}} } \end{array} $$

所以有

$$ {\left\| {{K^ * }f} \right\|^2} \le \sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\Delta _j}} \right)f} \right\|}^2} \le 2{{\left\| f \right\|}^2}} $$

即{Λ_j+Δ_j}_j=1^∞是K-g-框架.

那么，对于给定的2个K-g-框架，在什么条件下它们的和能构成新的K-g-框架？为此首先给出一些引理.

引理4^[4] 设Λ_j∈L(U, V_j), j∈J，序列{u_{j, k}=Λ_j^*e_{j, k}:j∈J, k∈K_j}称为由{Λ_j}_j∈J关于{e_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}诱导生成，则有：

(1) {Λ_j}_j∈J是U上的一个g-框架(g-Bessel序列、紧g-框架、g-Riesz基)的充要条件是{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}是U上的一个框架(Bessel序列、紧框架、Riesz基).

(2) {Λ_j}_j∈J的g-框架算子与{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}的框架算子等同.

引理5 {Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架的充要条件是由它诱导出的{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}是U上K-框架.

证明：假设{$ {{\tilde{e}}_{j, k}} $}_{k∈K_j}是V_j上的一个标准正交基，j∈J，则对任意的f∈U和j∈J，有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\Lambda }_j}f = \sum\limits_{k \in {K_j}} {\left( {{\mathit{\Lambda }_j}f,{{\tilde e}_{j,k}}} \right){{\tilde e}_{j,k}}} = }\\ {\sum\limits_{k \in {K_j}} {\left( {f,\mathit{\Lambda }_j^ * {{\tilde e}_{j,k}}} \right){{\tilde e}_{j,k}}} = \sum\limits_{k \in {K_j}} {\left( {f,{u_{j,k}}} \right){{\tilde e}_{j,k}}} } \end{array} $$

所以，对任意的f∈U, 有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}f} \right\|}^2}} = \sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {\sum\limits_{k \in {K_j}} {\left\langle {f,{u_{j,k}}} \right\rangle {{\tilde e}_{j,k}}} } \right\|}^2}} = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{u_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } } \end{array} $$

因此，{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架的充要条件是{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}是U上K-框架. 证毕.

注2 由引理2的证明过程可知，{Λ_j}_j∈J的框架算子与{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}的相同.

引理6 假设{Λ_j}_j∈J是U关于{V_j}_j∈J的g-Bessel序列.则{Λ_j}_j∈J是U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架的充要条件是存在常数A>0，使得S≥AKK^*，其中S是{Λ_j}_j∈J的框架算子.

证明：{Λ_j}_j∈J是U关于{V_j}_j∈J的界为A、B的K-g-框架，框架算子S的充要条件是对任意的f∈U,有

$$ A{\left\| {{K^ * }f} \right\|^2} \le \sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}f} \right\|}^2}} = \left\langle {Sf,f} \right\rangle \le B{\left\| f \right\|^2} $$

也即是，〈AKK^*f, f〉≤〈Sf, f〉≤〈Bf, f〉. 证毕.

定理1 设{Λ_j}_j∈J和{Γ_j}_j∈J均为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架，由{Λ_j}_j∈J和{Γ_j}_j∈J关于{e_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}诱导生成的K-框架分别为{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}和{w_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}，且{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}和{w_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}的合成算子分别是L₁和L₂，如果L₁L₂^*和L₂L₁^*都是正算子，则{Λ_j+Γ_j}_j∈J是U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架.

证明：设{Λ_j}_j∈J和{Γ_j}_j∈J均为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架，{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}和{w_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}分别是由它们诱导出的U上的K-框架，由引理2知，存在线性有界算子L₁和L₂满足u_{j, k}=L₁e_{j, k}和w_{j, k}=L₂e_{j, k}，并且Range(K)⊂Range(L₁), Range(K)⊂Range(L₂)，其中{e_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}是l²({V_j}_j∈J)上的一个标准正交基，所以

$$ {\rm{Range}}\left( K \right) \subset {\rm{Range}}\left( {{L_1}} \right) + {\rm{Range}}\left( {{L_2}} \right) $$

根据引理3，存在λ>0，且

$$ K{K^ * } \le {\lambda ^2}\left( {{L_1}L_1^ * + {L_2}L_2^ * } \right) $$

对于任意的f∈U，有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Gamma }_j}} \right)f} \right\|}^2}} = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{u_{j,k}} + {w_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{L_1}{e_{j,k}} + {L_2}{e_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } = }\\ {{{\left\| {{{\left( {{L_1} + {L_2}} \right)}^ * }f} \right\|}^2} = }\\ {\left\langle {{L_1}L_1^ * f,f} \right\rangle + \left\langle {{L_1}L_2^ * f,f} \right\rangle + \left\langle {{L_2}L_1^ * f,f} \right\rangle + }\\ {\left\langle {{L_2}L_2^ * f,f} \right\rangle \ge \left\langle {\left( {{L_1}L_1^ * + {L_2}L_2^ * } \right)f,f} \right\rangle \ge }\\ {\frac{1}{{{\lambda ^2}}}\left\langle {K{K^ * }f,f} \right\rangle = \frac{1}{{{\lambda ^2}}}{{\left\| {{K^ * }f} \right\|}^2}} \end{array} $$

设{Λ_j}_j∈J和{Γ_j}_j∈J的框架上界分别为B₁和B₂，由引理5的证明过程可知，{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}和{w_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}的框架上界也分别为B₁和B₂，利用闵可夫斯基不等式，对于任意的f∈U，有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Gamma }_j}} \right)f} \right\|}^2}} } \right)}^{\frac{1}{2}}} = }\\ {{{\left( {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{u_{j,k}} + {w_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } } \right)}^{\frac{1}{2}}} = }\\ {{{\left( {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{u_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } } \right)}^{\frac{1}{2}}} + {{\left( {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{w_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } } \right)}^{\frac{1}{2}}} \le }\\ {\sqrt {{B_1}} \left\| f \right\| + \sqrt {{B_2}} \left\| f \right\| = \left( {\sqrt {{B_1}} + \sqrt {{B_2}} } \right)\left\| f \right\|} \end{array} $$

因此，{Λ_j+Γ_j}_j∈J是U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架. 证毕.

注3 用相同的方法，可以推广到有限个K-g-框架的情形.

推论1 设{Λ_j}_j∈J和{Γ_j}_j∈J均为U关于{V_j}_j∈J的Parseval K-g-框架，由{Λ_j}_j∈J和{Γ_j}_j∈J关于{e_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}诱导生成Parseval K-框架分别为{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}和{w_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}，且{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}和{w_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}的合成算子分别是L₁和L₂，如果L₁L₂^*=0，则{Λ_j+Γ_j}_j∈J是U关于{V_j}_j∈J的界为2的紧K-g-框架.

证明：设{Λ_j}_j∈J和{Γ_j}_j∈J均为U关于{V_j}_j∈J的Parseval K-g-框架，{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}和{w_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}分别是由它们诱导出的U上的Parseval K-框架，则线性有界算子L₁和L₂满足u_{j, k}=L₁e_{j, k}和w_{j, k}=L₂e_{j, k}，并且Range(K)=Range(L₁), Range(K)=Range(L₂)，其中{e_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}是l²({V_j}_j∈J)上的一个标准正交基，对于任意的f∈U，有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Gamma }_j}} \right)f} \right\|}^2}} = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{u_{j,k}} + {w_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{L_1}{e_{j,k}} + {L_2}{e_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } = }\\ {{{\left\| {{{\left( {{L_1} + {L_2}} \right)}^ * }f} \right\|}^2} = }\\ {{{\left\| {L_1^ * f} \right\|}^2} + \left\langle {{L_1}L_2^ * f,f} \right\rangle + \left\langle {{L_2}L_1^ * f,f} \right\rangle + {{\left\| {L_2^ * f} \right\|}^2} = }\\ {{{\left\| {L_1^ * f} \right\|}^2} + {{\left\| {L_2^ * f} \right\|}^2} = 2{{\left\| {{K^ * }f} \right\|}^2}} \end{array} $$

定理2 设{Λ_j}_j∈J和{Γ_j}_j∈J均为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架，由{Λ_j}_j∈J和{Γ_j}_j∈J关于{e_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}诱导生成K-框架分别为{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}和{w_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}，{u_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}和{w_{j, k}}_{j∈J, k∈K_j}的合成算子分别是L₁和L₂，且L₁L₂^*=0.若T_i∈L(U)满足Range(L_i)⊂Range(T_iL_i)，其中i=1, 2，则{Λ_jT₁^*+Γ_jT₂^*}_j∈J是U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架.

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\Lambda }_j}T_1^ * f = \sum\limits_{k \in {K_j}} {\left\langle {{\mathit{\Lambda }_j}T_1^ * f,{{\tilde e}_{j,k}}} \right\rangle {{\tilde e}_{j,k}}} = }\\ {\sum\limits_{k \in {K_j}} {\left\langle {f,{T_1}\mathit{\Lambda }_j^ * {{\tilde e}_{j,k}}} \right\rangle {{\tilde e}_{j,k}}} = }\\ {\sum\limits_{k \in {K_j}} {\left\langle {f,{T_1}{u_{j,k}}} \right\rangle {{\tilde e}_{j,k}}} } \end{array} $$

其中{$ {{\tilde{e}}_{j, k}} $}_{k∈K_j}是V_j上的一个标准正交基，j∈J.所以，对任意的f∈U，有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}T_1^ * f} \right\|}^2}} = \sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {\sum\limits_{k \in {K_j}} {\left\langle {f,{T_1}{u_{j,k}}} \right\rangle {{\tilde e}_{j,k}}} } \right\|}^2}} = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{T_1}{u_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } } \end{array} $$

因此，对任意的f∈U，有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_j}T_1^ * + {\mathit{\Gamma }_j}T_2^ * } \right)f} \right\|}^2}} = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{T_1}{u_{j,k}} + {T_2}{w_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{T_1}{L_1}{e_{j,k}} + {T_2}{L_2}{e_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in {K_j}} {{{\left| {\left\langle {f,{T_1}{L_1}{e_{j,k}} + {T_2}{L_2}{e_{j,k}}} \right\rangle } \right|}^2}} } = }\\ {{{\left\| {{{\left( {{T_1}{L_1} + {T_2}{L_2}} \right)}^ * }f} \right\|}^2} + }\\ {\left\langle {{T_1}{L_2}L_2^ * T_2^ * f,f} \right\rangle + {{\left\| {{{\left( {{T_2}{L_2}} \right)}^ * }f} \right\|}^2} = }\\ {{{\left\| {{{\left( {{T_1}{L_1}} \right)}^ * }f} \right\|}^2} + {{\left\| {{{\left( {{T_2}{L_2}} \right)}^ * }f} \right\|}^2}} \end{array} $$

因为，Range(K)⊂Range(L₁)⊂Range(T_iL_i)，其中i=1, 2，由引理1，对每个i=1, 2，存在λ_i>0，使得KK^*≤λ²T_iL_i(T_iL_i)^*.对任意的f∈U，有

所以，{Λ_jT₁^*+Γ_jT₂^*}_j∈J是U关于{U_j}_j∈J的K-g-框架. 证毕.

定理3 设{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架且框架算子为S，如果T∈L(U)是正算子.则{Λ_j+Λ_jT}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架；更多地，对于任意自然数n，{Λ_j+Λ_jTⁿ}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架.

证明：{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架且框架算子为S，则由引理6，存在λ>0，使得S≥λ²KK^*.

对于任意的f∈U，有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Lambda }_j}T} \right)f} \right\|}^2}} = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}\left( {I + T} \right)f} \right\|}^2}} \le }\\ {{B_1}{{\left\| {\left( {I + T} \right)f} \right\|}^2} \le B{{\left\| f \right\|}^2}} \end{array} $$

{Λ_j+Λ_jT}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的g-Bessel序列，进而

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j \in J} {{{\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Lambda }_j}T} \right)}^ * }\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Lambda }_j}T} \right)} = }\\ {\sum\limits_{j \in J} {{{\left( {I + T} \right)}^ * }\mathit{\Lambda }_j^ * {\mathit{\Lambda }_j}\left( {I + T} \right)f} = }\\ {{{\left( {I + T} \right)}^ * }\sum\limits_{j \in J} {\mathit{\Lambda }_j^ * {\mathit{\Lambda }_j}\left( {I + T} \right)f} = }\\ {{{\left( {I + T} \right)}^ * }S\left( {I + T} \right)f} \end{array} $$

所以{Λ_j+Λ_jT}_j∈J的框架算子为(I+T)^*S(I+T).

又因为

$$ {\left( {I + T} \right)^ * }S\left( {I + T} \right) \ge S \ge {\lambda ^2}K{K^ * } $$

再由引理6，{Λ_j+Λ_jT}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架.对于任意自然数n，{Λ_j+Λ_jTⁿ}_j∈J的框架算子为(I+T^N)^*S(I+Tⁿ)≥S，所以{Λ_j+Λ_jTⁿ}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架. 证毕.

注4 用相同的方法，可以推广到有限个K-g-框架的情形.

推论2 设{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架且框架算子为S，{J₁, J₂}是J的一个分划，S_i是g-Bessel序列{Λ_j}_{j∈J_i}, i=1, 2的框架算子，则对于任意的自然数n、m，{Λ_j+Λ_jS₁ⁿ}_j∈J₁∪{Λ_j+Λ_jS₂^m}_j∈J₂为U关于{Λ_j}_j∈J的K-g-框架.

证明：对于任意的f∈U，有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {\sum\limits_{j \in {J_1}} {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Lambda }_j}S_1^n} \right)f} \right\|}^2}} } \right)}^{\frac{1}{2}}} = }\\ {{{\left( {\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}f} \right\|}^2}} } \right)}^{\frac{1}{2}}} + {{\left( {\sum\limits_{j \in J} {{{\left\| {{\mathit{\Lambda }_j}S_1^nf} \right\|}^2}} } \right)}^{\frac{1}{2}}} \le }\\ {B\left\| f \right\| + B\left\| {S_1^n} \right\|\left\| f \right\| = B\left( {1 + \left\| {S_1^n} \right\|} \right)\left\| f \right\|} \end{array} $$

类似有

$$ {\left( {\sum\limits_{j \in {J_2}} {{{\left\| {\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Lambda }_j}S_2^m} \right)f} \right\|}^2}} } \right)^{\frac{1}{2}}} \le B\left( {1 + \left\| {S_2^m} \right\|} \right)\left\| f \right\| $$

则{Λ_j+Λ_jS₁ⁿ}_j∈J₁、{Λ_j+Λ_jS₂^m}_j∈J₂均为g-Bessel序列，所以

$$ {\left\{ {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Lambda }_j}S_1^n} \right\}_{j \in {J_1}}} \cup {\left\{ {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Lambda }_j}S_2^m} \right\}_{j \in {J_2}}} $$

为g-Bessel序列，对于任意的f∈U，有

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j \in {J_1}} {{{\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Lambda }_j}S_1^n} \right)}^ * }\left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Lambda }_j}S_1^n} \right)f} = }\\ {{{\left( {I + S_1^n} \right)}^ * }\sum\limits_{j \in {J_1}} {{\mathit{\Lambda }_j}^ * \left( {{\mathit{\Lambda }_j} + {\mathit{\Lambda }_j}S_1^n} \right)f} = }\\ {{{\left( {I + S_1^n} \right)}^ * }S\left( {I + S_1^n} \right)f = }\\ {\left( {I + S_1^n} \right)\left( {{S_1} + S_1^{n + 1}} \right)f = }\\ {\left( {{S_1} + 2S_1^{n + 1} + S_1^{2n + 1}} \right)f} \end{array} $$

所以，{Λ_j+Λ_jS₁ⁿ}_j∈J₁、{Λ_j+Λ_jS₂^m}_j∈J₂的框架算子分别为S₁+2S₁ⁿ⁺¹+S₁²ⁿ⁺¹和S₂+2S₂^m+1+S₂^2m+1，假设S₀是{Λ_j+Λ_jS₁ⁿ}_j∈J₁∪{Λ_j+Λ_jS₂^m}_j∈J₂的框架算子，因为{Λ_j}_j∈J为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架且框架算子为S，则由引理6，存在λ>0，使得S≥λ²KK^*.所以

$$ {S_0} \ge {S_1} + {S_2} = S \ge {\lambda ^2}K{K^ * } $$

因此，{Λ_j+Λ_jS₁ⁿ}_j∈J₁∪ {Λ_j+Λ_jS₂^m}_j∈J₂为U关于{V_j}_j∈J的K-g-框架. 证毕.

2. 结论

1) 利用K-g-框架诱导生成K-框架的性质，给出2个K-g-框架的和构成K-g-框架的充分条件，见定理1.

2) 利用K-g-框架诱导生成K-框架的性质，给出2个K-g-框架分别在不同的线性算子作用下的和构成K-g-框架的条件，见定理2.

3) 利用K-g-框架的框架算子的性质，给出2个K-g-框架的和构成K-g-框架的条件，见定理3及推论2.

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