近些年来,在研究余代数的一般性理论时出现了几类具体的余代数, 并对它们分别进行了研究 . 这些余代数中有许多是通过它们的余模范畴的某种性质或者仅仅通过单余模或内射余模给出定义 . 众所周知,Krull维数在交换代数研究中扮演着重要角色 ^{[ 1]} . 类似地,可用Krull维数研究与刻画余代数结构,并讨论余代数和余模的一些性质 . 本文将引进余代数的Krull维数概念并研究其性质 .

现在,简要回顾一些基本概念和相关事实:每个具有可分离余根的余代数均Morita-Takeuchi等价于一个路余代数的子余代数 ^{[2 - 3]} . 据此,有向图的路余代数成为余代数理论中的重要研究对象 . 由文献[4],Quiver(箭图) Q=( Q ₀, Q ₁, s, t)由2个集合 Q ₀、 Q ₁与2个映射 s、 t给出 . 其中 Q ₀是点集, Q ₁是箭向集;2个映射 s, t: Q ₁→ Q ₀给出箭向 x,使得 s( x)是 x的始点, t( x)是 x的终点 . 有时把箭向 x表示为 x: s( x)→ t( x) . Q的子Quiver Q'=( Q' ₀, Q' ₁, s', t')是使得 Q' ₀⊆ Q ₀, Q' ₁⊆ Q ₁, s'=s $\begin{array}{c}{|}_{Q{\text{'}}_1}\end{array}$ , t'=t $\begin{array}{c}{|}_{Q{\text{'}}_1}\end{array}$ 的有向图 .

Q中的一条路是箭向的有限序列 p=x ₁ x ₂… x _n ,且对每个 i=1,…, n-1, t( x _i ) =s( x _{i+ 1}) . 在这种情况下,令 s( p) =s( x ₁), t( p) =t( x _n ) . 一条路 p的长度是组成它的箭向的个数 . 特别地,把点看作平凡路或者长度为零的路 . 对任意平凡路 a,令 s( a) =a=t( a) . 并且对任意路 p使得 s( p) =a(或者 t( p) =a),则把毗邻的路 ap和 p看作是一样的 . 称长度 l≥1的路是循环的,如果它的始点和终点是重合的 .

在下面的叙述中,假设读者熟悉余代数的基本理论 . 把文献[5 -7]作为余代数和余模的基本参考文献,本文未交代的一些概念和术语可在这些文献里找到 .

设 Q是Quiver, k是域 . Q的路余代数是 k-向量空间 kQ,所有路的集合是它的一组基,它的余乘法和余单位定义为:对任意点 a,定义 Δ( a) =a $⨂$ a与 ε( a) =1 . 而对任意长度大于零的路 p=x ₁… x _n , 定义

Δ( p) =s( p) $⨂$ p+ $\begin{array}{c}\stackrel{n-1}{\sum _{i=1}}\end{array}$ x ₁… x _i $⨂$ x _{i+ 1}… x _n+

p $⨂$ t( p) = $\begin{array}{c}\sum _{p_1{p}_2=p}\end{array}$ p ₁ $⨂$ p ₂

与

ε( p) =0

正如一些文献(如文献[8])中所指出的,单子余代数只控制Quiver中的点 . 但是,它们不控制Quiver中的箭向 . 因为这个缘故,人们的兴趣在单余代数的推广——素子余代数的有关问题上 . 为此,先回忆余代数里子余代数楔积的概念 .

令 A和 B是域 k上余代数 C的2个子余代数,则在 C中 A和 B的楔积 ^{[ 5]} ,记为 A∧ ^CB ,定义为

A∧ ^CB= Ker( C→ C $⨂$ C→ $\begin{array}{c}\frac{C}{A}\end{array}⨂\begin{array}{c}\frac{C}{B}\end{array}$ ) =

Δ ^{- 1}( C $⨂$ B+A $⨂$ C) =( $\begin{array}{c}{A}^{\perp C^{*}}\end{array}\begin{array}{c}{B}^{\perp C^{*}}\end{array}$ ) ^{⊥ C}

如果 A和 B是子余代数,那么 A+B⊆ A∧ ^CB ,且 A∧ ^CB 是 C的子余代数 . 一般情况下, A∧ ^CB ≠ B∧ ^CA.

定义1 ^{[ 8]} 余代数 C称为是素的,如果对 C的任意2个子余代数 A和 B,由 C=A∧ ^CB ,可推出 C=A,或者 C=B.

由文献[8],有下面的结论 .

引理1 ^{[ 8]} 令 D是余代数 C的子余代数,则下列叙述是等价的:

1) D是素余代数;

2) 对 C的子余代数 A和 B使得 D⊆ A∧ ^CB ,则有 D⊆ A,或者 D⊆ B.

命题1 ^{[ 8]} 令 D是余代数 C的素子余代数,则对任意非零幂等元 e∈ C ^* ,有 eDe⊆ eCe是素子余代数 .

还需要“局部化”概念 . 局部化是由许多学者从不同观点角度发展起来的理论 . 其中最著名的过程是交换环里作为增加乘法逆的系统方法的局部化 . 在文献[9]中,Gabriel描述了阿贝尔范畴和Grothendieck范畴的局部化 . 这表现为到一个新范畴——商范畴——上的函子 . 这个函子有右伴随函子——section函子 . Navarro于文献[10]中在余模范畴(为有限型的Grothendieck范畴)里发展了Gabriel的思想 . 该理论的关键在于这个商范畴变成了一个余模范畴,从而较任意代数上的模范畴情形更易于理解 .

1 余代数的Krull维数

本文自始至终一直用 C表示一个余代数, C≠0,且用 C ^* 表示 C的对偶代数 . 通过定义 ^{[ 10]}

c↼ f= $\begin{array}{c}\sum _c\end{array}$ f( c ₁) c ₂

与

f⇀ c= $\begin{array}{c}\sum _c\end{array}$ f( c ₂) c ₁

的作用使余代数 C分别成为一个右 C ^*- 模和左 C ^*- 模 . 这里 f∈ C ^* 和 c∈ C满足使用Sweedler的西格玛符号的公式 Δ( c) = $\begin{array}{c}\sum _c\end{array}$ c ₁ $⨂$ c ₂ ^{[ 5]} . 为简便起见,分别用 cf和 fc记 c↼ f和 f⇀ c. 对每个非零幂等元 e∈ C ^* ,向量空间 eCe通过余乘和余单位运算(对任 x∈ C) Δ _eCe ( exe) = $\begin{array}{c}\sum _c\end{array}$ ex ₁ e $⨂$ ex ₂ e与 ε _eCe ( exe) =ε( x)成为余代数 . 对任意 x∈ C,令 ϕ( x) =exe,则 ϕ∶C→ eCe是一个线性映射 . 该线性映射 ϕ满足 Δ _eCeϕ ( c) =( ϕ􀱋 ϕ) Δ _C ( c),其中 c∈ C. 用 T _e 记商函子Cohom( Ce, -): C→ eCe(文献[11]) .

受文献[1]的启发,引入下面的概念:

n+1个素子余代数的有限序列 P ₀⊃ P ₁⊃…⊃ P _n 称为余代数 C中长度是 n的素链 . 为叙述方便起见,用Spec( C)记 C中的所有素子余代数的集合 .

定义2 如果 P∈Spec( C), P=P ₀的素链长度的上确界称为 P的高度,并记为ht( P) .

注1 由定义2,易见ht( P) =0意味着 P是 C的极小素子余代数,亦即, P是 C的极小子余代数(也就是 C的单子余代数) .

令 D是 C的真子余代数,定义 D的高度为所有包含 D的素子余代数 P的高度的最小值:

ht( D) =inf{ht( P) |P⊇ D}

下面引进余代数 C的Krull维数概念 .

定义3 余代数 C的Krull维数定义为 C中素子余代数高度的上确界:

Kdim( C) =sup{ht( P) |P∈Spec( C)}

注2 如果Kdim( C)是有限的,则它等于 C中最长素链的长度 . 例如,令 C是如下Quiver Q定义的余代数:

则 C=kQ有Kdim( C) =1 .

由文献[ 10],对于2个幂等元 f, g∈ C ^* ,称 f与 g等价,如果内射右 C-余模 Cf与 Cg是等价的 . 一个幂等元 e∈ C ^* 称为是左(右)半中心的,如果 eC=eCe( Ce=eCe) . 或等价地,如果 eC( Ce)是 C的子余代数(见文献[ 11]) .

定理1 令 D是余代数 C的任意素子余代数,设 e是 C ^* 中相伴于soc D的半中心幂等元,则有ht( D)≤Kdim T _e ( C) =Kdim( eCe) .

注意:显然,soc D是soc C的直和加项,不妨设soc C=soc D⊕ S ₀,这里 e相伴于soc D的意思是: e(soc D) e=soc D,而 e( S ₀) e=0 .

证明:因为 e是 C ^* 中相伴于soc D的半中心幂等元,有 T _e ( C) =Cohom( Ce, C) =eC=eCe. 因此,Kdim T _e ( C) =Kdim( eCe) . 不失一般性,可假设 n+1个素子余代数的有限序列 P ₀⊃ P ₁⊃…⊃ P _n 为 C中长度是 n的素链,这里 P _i ≠ P _{i+ 1}( i=1,2,…, n) . 显然,由定义2,ht( D) =n. 同时,可得到

$\begin{array}{c}{\overline{P}}_0\end{array}$ ( C) =Cohom( Ce, P ₀)⊇ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_2\end{array}$ ( C) =

Cohom( Ce, P ₁)⊇…⊇ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_n\end{array}$ ( C) =Cohom( Ce, P _n )

易证 $\begin{array}{c}{\overline{P}}_i\end{array}$ ( i=1,2,…, n)也是 T _e ( C) =eCe的素子余代数 . 的确,由于 P _i 是素子余代数,由引理1和命题1,得到 eP _ie= $\begin{array}{c}{\overline{P}}_i\end{array}$ ⊆ eCe是素子余代数,这里 i=1,2,…, n. 由文献[ 10],知道每个内射右 C-余模 E均具有形式 E=Ce,其中 e∈ C ^* 是某个幂等元 . 所以,在内射余模的等价类与对偶代数的幂等元等价类之间存在一一对应 . 因为 P _i ≠ P _{i+ 1}( i=1,2,…, n),故易见 $\begin{array}{c}{\overline{P}}_i\end{array}$ ≠ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_{i+1}\end{array}$ ( i=1,2, …, n) . 因此, $\begin{array}{c}{\overline{P}}_0\end{array}$ ⊃ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_1\end{array}$ ⊃…⊃ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_n\end{array}$ 也是 eCe中长度为 n的素链 . 令Kdim( eCe) =m. 因为Kdim( eCe) =sup{ht( $\begin{array}{c}\overline{P}\end{array}$ ) | $\begin{array}{c}\overline{P}\end{array}$ ∈Spec( eCe)},故 m是 eCe中所有素链长度的上确界 . 所以, n≤ m,即

ht( D)≤Kdim T _e ( C) =Kdim( eCe)

成立 .

注3 如果 D是余代数 C的子余代数,与上面定理证明类似,可证ht( D)≤Kdim T _e ( C) .

命题2 ϕ∶C→ eCe是由 ϕ( x) =exe( x∈ C)定义的线性映射, eDe是 eCe的素子余代数,则 C的含有Ker ϕ的所有子余代数 D是素子余代数 .

证明: 设 H, L⊆ C是使得 D⊆ H∧ L的子余代数,这里 H=H'+Ker ϕ, L=L'+Ker ϕ, D=D'+Ker ϕ,而 H'、 L'、 D'是 C的不包含Ker ϕ的子余代数,则

ϕ( D) =eDe⊆ ϕ( H∧ L)⊆ ϕ( H)∧ ϕ( L)

由于 eDe是 eCe的素子余代数,得 ϕ( D) =eDe⊆ ϕ( H)或 ϕ( D) =eDe⊆ ϕ( L) . 因为

ϕ ^{- 1} ϕ( D) =ϕ ^{- 1} ϕ( D'+Ker ϕ) =

D'+Ker ϕ+Ker ϕ=D'+Ker ϕ=D

类似地,还可得到 ϕ ^{- 1} ϕ( D)⊆ ϕ ^{- 1} ϕ( H) =H与 ϕ ^{- 1} ϕ( D)⊆ ϕ ^{- 1} ϕ( L) =L. 因此,或者 D=ϕ ^{- 1} ϕ( D)⊆ ϕ ^{- 1} ϕ( H) =H,或者 D=ϕ ^{- 1} ϕ( D)⊆ ϕ ^{- 1} ϕ( L) =L. 所以, C的含有Ker ϕ的子余代数 D是素子余代数 .

推论1 令 ϕ∶C→ eCe是由 ϕ( x) =exe(其中 x∈ C)定义的线性映射, D是余代数 C的含有Ker ϕ的任意素子余代数 . 设 e是 C ^* 中相伴于soc D的半中心幂等元,则有ht( D) =Kdim T _e ( C) =Kdim( eCe) .

证明:由定理1的证明知道,ht( D)≤Kdim T _e ( C) =Kdim( eCe) . 另一方面,设Kdim( eCe) =m,ht( D) =n. 因为Kdim( eCe) =Sup{ht( P) |P∈Spec( eCe)},所以 m是 eCe的所有素链的上确界 . 不失一般性,可设 m+1个素子余代数的有限序列 $\begin{array}{c}{\overline{P}}_0\end{array}$ ⊃ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_1\end{array}$ ⊃…⊃ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_m\end{array}$ 是 eCe的长度为 m的素链,这里 $\begin{array}{c}{\overline{P}}_i\end{array}$ ≠ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_{i+1}\end{array}$ ( i=1,2,…, m) . 于是,得 $\begin{array}{c}{\overline{P}}_0\end{array}$ ( C) =Cohom ( Ce, P ₀)⊇ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_2\end{array}$ ( C) =Cohom( Ce, P ₁)⊇…⊇ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_m\end{array}$ ( C) =Cohom( Ce, P _m ) . 容易验证 P ₀, P ₁,…, P _m 是 C包含Ker ϕ的子余代数 . 于是,由命题2知 P _i ( i=1,2,…, m)是 C的素子余代数 . 因为 $\begin{array}{c}{\overline{P}}_i\end{array}$ ≠ $\begin{array}{c}{\overline{P}}_{i+1}\end{array}$ ( i=1,2,…, m),易见 P _i ≠ P _{i+ 1}( i=1,2,…, m)且 P ₀⊃ P ₁⊃…⊃ P _m. 令 D=P _m. 由ht( D) =n的定义,有 m≤ n.

注4 如果 D是余代数 C的含有Ker ϕ的任意子余代数,用上面证明的类似方法也可证得ht( D) =Kdim T _e ( C) =Kdim( eCe) .

定理2 令 D是余代数 C的任意素子余代数, e是 C ^* 中相伴于soc D的半中心幂等元 . 假设 I是 C的余理想, 且 I生成子余代数 D,则有ht( D) +Kdim( C/I)≤Kdim C

证明:假设ht( D) =n与Kdim( C/I) =m. 令 $\begin{array}{c}{\overline{Q}}_0\end{array}$ ⊃ $\begin{array}{c}{\overline{Q}}_1\end{array}$ ⊃…⊃ $\begin{array}{c}{\overline{Q}}_m\end{array}$ 是 C/I里素子余代数的极大链,则由 Q⊆ C是素子余代数当且仅当 $\begin{array}{c}\overline{Q}\end{array}$ 是 C/I里的素子余代数的事实知, Q ₀⊃ Q ₁⊃…⊃ Q _m 是 C的素子余代数链 . 同时,令 P ₀⊃ P ₁⊃…⊃ P _n 是 C中素子余代数的极大链且 D=Q,则 Q ₀⊃ Q ₁⊃…⊃ Q _m ⊃ P ₀⊃ P ₁⊃…⊃ P _n 是 C中的素子余代数链 . 因此,有 m+n≤Kdim C,亦即,ht( D) +Kdim( C/I)≤Kdim C.

令( M, ρ)是右 C-余模 . 由根据文献[12],在余代数 C中存在唯一的极小子余代数cf( M)使得 ρ( M)⊆ M􀱋cf( M),亦即, M是右cf( M) -余模 . 这个余代数cf( M)称为是 M的系数空间 .

定义4 令 M≠0是 C-余模,定义余模 M的Krull维数为Kdim( M) =Kdim(cf( M)) .

特别,当 M=0时,置Kdim( M) =-1 .

2 诺特余代数

为了利用余模 M的Krull维数研究余模和余代数的性质,引进诺特余代数概念如下 .

定义5 令 T是 C-余模 M的子集 . 如果 N是所有包含子集 T的子余模的交集,则称子余模 N是由 T生成的 . 如果 T是有限子集,则称 N是有限生成的 .

容易证明下面的命题 .

命题3 令 C是余代数 . 如果 C-余模 M作为有理 C ^*- 模是有限生成的,则 M作为 C-余模是有限生成的 .

命题4 令 C是余代数, M是 C-余模, m∈ M,则由 m生成的子余模是有限维的 .

证明 将表示出一个含有 m的有限维子余模,从而所有包含 m的子余模的交集是有限维的 . 事实上,这个子余模是 C ^* 的某个有限生成子模 .

令“⇀”记 C ^* 在 M上的左 C ^*- 模作用,这里 M是 C-余模,余模乘法为 ρ _M. “⇀”作用由

c ^* ⇀ m= $\begin{array}{c}\sum _m\end{array}$ m ₍₁₎ <c ^* , m ₍₂₎ >

给出 .

由于 M在“⇀”作用下是有理 C ^*- 模,故 N=C ^* ⇀ m(由 m生成的子模)是有理的和有限维的 . 这是因为它是有理模的子模(见文献[5]),因此, N作为 C-余模是有限维的 . 为得到下面结果,引进一些记号 . C-余模 M称为单的,如果 M没有非零子余模(见文献[3]) . 一个 C-余模 M称为是有限长度的,如果存在子余模的有限滤链 M=M ₀⊃ M ₁⊃…⊃ M _n= 0使得滤链因子 M _i/M _{i+ 1}或者为零或者为单余模( i=0,1,…, n-1) . 如果没有滤链因子 M _i/M _{i+ 1}为零,则这样的滤链 F称为余模的 M合成列 . 定义 l _F ( M)为∑ $\begin{array}{c}{m}_S^F\end{array}$ ( M),这里的和遍历所有单 C-余模 . 定义 M的长度为 l( M)为所有 l _F ( M)的最小值,而 $\begin{array}{c}{m}_S^F\end{array}$ ( M)是 M的滤链 F中与单余模 S同构的滤链因子个数,并令 m _S ( M)为所有 $\begin{array}{c}{m}_S^F\end{array}$ ( M)的最小值,这里 F遍历 M所有合成列 .

定义6 ^{[ 13]} 如果余代数 C里面关于子余代数的升链(或降链)条件成立,则称它为诺特的(或阿廷的) .

注5 余代数 C是诺特的当且仅当 C的每个子余代数是有限生成 C-余模 .

类似地,可引进诺特余模的概念 .

定义7 C-余模 M称为诺特的,如果 M的每个 C-子余模是有限生成的 .

引理2 余代数 C是诺特的当且仅当 C作为左 C-余模和右 C-余模的长度都是有限的 .

证明:如果 C作为左 C-余模和右 C-余模的长度都是有限的,则 C是诺特的,这是因为任一个子余代数可视为左 C-余模和右 C-余模 .

反过来,若 C是诺特的,则 C有限生成余代数 . 因此,由文献[5]知 C在它的基域 k是有限维的 . 因为 C中的左子余模和右子余模均为 k上的向量空间,故 C中的每个左(右)子余模链是有限的 . 因此,逆过来的结论也成立 .

定理3 令 C是一个余代数, M是一个 C-余模 . 若系数空间cf( M)是诺特的,则Kdim( M) =0 .

证明: 因为cf( M)是诺特的,故cf( M)中仅有有限多个极小子余代数(亦即,单子余代数) . 将其分别记为 P ₁, P ₂,…, P _s . 易见存在某个自然数 r使得( P ₁∧ P ₂∧…∧ P _s ) ^r= cf( M) . 令 P是cf( M)中任一个素子余代数,则 P⊆cf( M) =( P ₁∧ P ₂∧…∧ P _s ) ^r. 于是,存在某个 i(1≤ i≤ r)使得 P⊆ P _i. 由 P _i 的极小性,知道 P _i=P. 所以,Kdim(cf( M)) =0,从而Kdim( M) =0 .

引理3 令余代数 C是诺特的, M有限生成 C-余模,则 M是一个诺特 C-余模 .

证明:令 N是 M的任意一个子余模 . 由于 M有限生成 C-余模,由命题4, M是有限维的,从而 M的长度是有限的 . 再由于 C是诺特的,根据引理2, C作为左 C-余模和右 C-余模的长度都是有限的 . 因此, N的长度是有限的,从而 N有限生成 C-余模 . 由定义7, M是一个诺特 C-余模 .

命题5 C-余模 M有合成列当且仅当 M是诺特的与阿廷的 .

证明 必要性:如果 C-余模 M有合成列,则 M中的所有链都是有界的 . 因此, M是诺特的与阿廷的 .

充分性:可设 M≠0 . 令 Σ={ N|N是 M的子余模且 N≠ M} . 由于 M是诺特的,故 Σ有极大元 M ₁ . 因为 M ₁是诺特,故 M ₁有极大真子余模 . 于是, M ₁ /M ₂是单的,从而可得到一个余模降链 M=M ₀⊃ M ₁⊃…⊃ M _n ⊃…使得 M _{i- 1} /M _i 为单余模 . 又由于 M是阿廷 C-余模,故存在某个自然数 n使得 M _n= 0 . 因此, M=M ₀⊃ M ₁⊃…⊃ M _n= 0,即, M有合成列 .

定理4 令 C是阿廷余代数且 M≠0是 C-余模,则下列条件是等价的:

1) M是有限长度的 C-余模 .

2) 系数子余代数cf( M)是诺特的 .

3) Kdim( M) =0 .

证明:1)⇒2): 由于 M是有限长度的,则 M是有限维的,因此,cf( M)是有限维的 . 又因为 C是阿廷的,故cf( M)作为左cf( M) -余模和右cf( M) -余模都是有限长度的 . 由定义7,知道cf( M)是诺特的 .

2) ⇒1):因为 M是 C-余模,故 M也是cf( M) -余模 . 由引理2,得到cf( M)作为左cf( M) -余模和右cf( M) -余模都是有限长度的 . 因此,cf( M)是有限维的,从而 M作为cf( M) -余模是有限维的 . 因为 C是阿廷的,故 M作为 C-余模是有限维的 . 所以, M是有限长度的 C-余模 .

2) ⇒3):由定理3 .

3) ⇒2):假设Kdim( M) =0,则Kdim( M) =Kdim(cf( M)) =0 . 因此, cf( M)仅有极小素子余代数(亦即,单子余代数) . 因为 C是阿廷的,故 C的子余代数的任意非空集合有极小元 . 因此,cf( M)作为左cf( M) -余模和右cf( M) -余模都是有限长度的 . 由引理2, cf( M)是诺特的 .

注6 显然,余代数 C≠0有零Krull维数当且仅当它的所有素子余代数都是极小的 .

3 结论

1) 设 D是余代数 C的任意素子余代数,设 e是 C ^* 中相伴于soc D的半中心幂等元,则有ht( D)≤Kdim T _e ( C) =Kdim( eCe) .

进一步,如果 I是 C的余理想,且 I生成子余代数 D,则有ht( D) +Kdim( C/I)≤Kdim( C) .

2) 令 C是一个余代数, M是一个 C-余模 . 如果系数空间cf( M)是诺特的,则Kdim( M) =0 . 进一步,如果 C是阿廷余代数且 M≠0,则 M是有限长度的 C-余模,当且仅当其系数子余代数cf( M)是诺特的,当且仅当Kdim( M) =0 .