Hysteresis Loop and Stiffness and Damping Parameters of ZN-35 Rubber Damping Pad
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摘要:
针对某运载火箭上电子设备的ZN-35橡胶减振垫，设计了理想状态下宽频振动试验装置，进行了宽频范围振动试验，获取了不同频率下减振垫的迟滞回线，并以此为基础，辨识得到相应频率激励下该材质减振垫刚度、阻尼系数等动力学参数.结果表明，该材质橡胶减振垫的动态刚度随激励频率的增大呈平滑增大趋势，动态阻尼系数随激励频率的增大呈平滑变小趋势.该研究为ZN系列橡胶减振垫的研究提供了新的视角，为该材料减振垫的设计与使用提供了基础数据.
Abstract:For the ZN-35 rubber damping pad of electronic equipment on a launch vehicle, a broadband vibration test device was designed under ideal conditions, and a broadband range vibration test was carried out. The hysteresis loop of the damping pad at different frequencies was obtained, and based on this, dynamic parameters such as stiffness and damping coefficient of the damping pad under corresponding frequency excitation were identified. Results show that the dynamic stiffness of the rubber damping pad of the material increases smoothly with the increase of the excitation frequency, and the dynamic damping coefficient decreases smoothly with the increase of the excitation frequency. This research provides a new perspective for the research of ZN series rubber damping pads, and provides basic data for the design and use of the material damping pads.
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阻尼减振技术的发展已有多年历史，该技术一直与航空航天发展紧密结合，为减振隔振的主要措施之一[1-2]. 橡胶阻尼垫是利用橡胶型黏弹性阻尼材料制成的具有一定几何形状的组件，用以隔离关键结构件或电子设备，获得减振和隔振效果[3].
目前设计减振垫时，首先根据橡胶动态力学性能(即弹性模量、耗能模量)对橡胶减振垫减振效果进行预估. 低频状态下橡胶动态力学性能由动态热机械分析仪等设备试验得到；高频状态下橡胶动态力学特性无法直接试验得到，通常根据主曲线等方法绘图读取[4]，而通过主曲线预测得到的数据精度因材料的不同而不同. 橡胶减振垫的动力学参数是其减振效果的直接体现，随着激励频率与温度的变化而变化，是减振垫设计的重要依据. 目前，针对橡胶减振垫自身动力学参数辨识的研究很少[4-8].
本文以某运载火箭上电子设备的ZN-35硅橡胶减振垫为试验对象，设计了试验装置，以20~2 000 Hz扫频试验采集减振前后试验结构上的加速度信号, 建立了橡胶减振垫动力学方程，并以迟滞回线法辨识获取该类型减振垫动力学参数. 为以后同类橡胶减振垫的设计提供了高频动力学参数，并为后续验证主曲线等方法预估高频下ZN-35硅橡胶材料减振效果提供了基础数据.
1. 试验设计
1.1 试验系统介绍
某运载火箭上电子设备的ZN-35硅橡胶减振垫如图 1所示. 振动试验装置如图 2所示. 工件、减振垫、螺杆与螺纹卡环固定在振动试验台上. 通过分析振动台振动信号X2与减振后工件的振动信号X1来辨识减振垫动力学参数.
振动试验中加速度信号相对于速度信号和位移信号更易测量，本试验选用加速度传感器采集数据，所需的速度和位移信号通过对加速度信号积分得到. 在螺杆上布置1个传感器测量激振器振动信号；在试件上均布3个传感器测量减振后振动信号，且可以通过分析试件上3个传感器信号的吻合度来验证振动是否平稳. 图 3(a)(b)为安装好振动系统与布置好传感器的系统.
1.2 动力学方程
根据1.1节中试验，减振系统可简化为图 4所示减振模型. 其中m为工件质量；ẍ1、ẋ1、x1为系统输出振动信号，即分别为工件的振动加速度、速度、位移信号；ẍ2、ẋ2、x2为输入振动信号，即分别为振动台的振动加速度、速度、位移信号；k、c为减振垫刚度及阻尼参数，即试验所需辨识动力学参数. 且根据减振模型可列方程
$$ m \ddot{x}_{1}+c\left(\dot{x}_{1}-\dot{x}_{2}\right)+k\left(x_{1}-x_{2}\right)=0 $$ (1) 2. 参数辨识过程
2.1 阻尼耗能介绍
为了方便计算阻尼能耗与方程组参数的关系，对方程(1)进行转化，有
$$ m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=0 $$ (2) 式中：$\ddot x = {\ddot x_1};\dot x = {\dot x_1} - {\dot x_2};x = {x_1} - {x_2}$.
将式(2)各项除以m，可得
$$ \ddot{x}+\frac{c}{m} \dot{x}+\frac{k}{m} x=0 $$ (3) 令固有频率${\omega _0} = \sqrt {k/m} $，阻尼比$\zeta = c/2\sqrt {km} $，式(3)转换为
$$ \ddot{x}+2 \zeta \omega_{n} \dot{x}+\omega_{n}^{2} x=0 $$ (4) 与橡胶能耗有关的量为阻尼力cẋ，所以橡胶减振垫在一个周期内，单位质量的能量耗散ΔU为
$$ \begin{gathered} \Delta U=\oint f_{d} \mathrm{~d} X=\int_{0}^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }} / \omega} f_{d} \dot{x} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }} / \omega} 2 \zeta \omega_{n} \dot{x} \dot{x} \mathrm{~d} t= \\ 2 \zeta \omega_{n} \int_{0}^{2 {\rm{ \mathsf{ π} }} / \omega} \dot{x}^{2} \mathrm{~d} t=2 {\rm{ \mathsf{ π} }} x_{0}^{2} \omega_{n} \omega \zeta={\rm{ \mathsf{ π} }} x_{0}^{2} \omega c / m \end{gathered} $$ (5) 式中x0为橡胶减振垫压缩量的幅值. 所以质量未归一化的情况下橡胶减振垫每个周期耗散的能量为
$$ \Delta U={\rm{ \mathsf{ π} }} x_{0}^{2} \omega c $$ (6) 2.2 迟滞回线法
橡胶材料在简谐力作用下会表现出迟滞现象，就是说橡胶材料对激励力的响应会有滞后，表现在信号上即系统输入信号与输出信号之间会有相位差，这种现象的内在因素是材料分子链之间存在的摩擦，这也是引起耗能的原因[9]. 对橡胶材料施加简谐力
$$ \varepsilon(t)=\varepsilon_{0} \sin \omega t $$ (7) 则橡胶减振垫对于简谐力的响应会有一个相位差，响应力为
$$ \sigma(t)=\sigma_{0} \sin (\omega t+\phi) $$ (8) 将响应信号展开可以得到
$$ \sigma(t)=\sigma_{0} \sin \omega t \cos \phi+\sigma_{0} \cos \omega t \sin \phi $$ (9) 令
$$ \left\{\begin{array}{l} E^{\prime}=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}} \cos \phi \\ E^{\prime \prime}=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}} \sin \phi \end{array}\right. $$ (10) 则式(9)可以变换为
$$ \sigma(t)=\varepsilon_{0}\left[E^{\prime} \sin \omega t+E^{\prime \prime} \cos \omega t\right] $$ (11) 式中：E′为储能模型，表示减振垫在变形过程中储存能量的能力，这部分能量使减振垫恢复弹性变形；E″为耗能模型，表示减振垫在变形过程中耗散能量的能力，这部分能量即体现了橡胶减振垫的减振行为[10]. 耗能模型E″与储能模型E′之比即为损耗因子η=E″/E′.
现将橡胶减振垫的激励信号式(7)及相应信号式(11)联立，可以得到橡胶减振垫的激励信号与相应信号的关系式
$$ \cos \omega t=\frac{1}{\varepsilon_{0} E^{\prime \prime}}\left[\sigma(t)-E^{\prime} \varepsilon(t)\right] $$ (12) 令式(12)中1=sin2ωt+cos2ωt并变换，则有
$$ \left(\frac{\sigma(t)-E^{\prime} \varepsilon(t)}{\varepsilon_{0} E^{\prime \prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\varepsilon(t)}{\varepsilon_{0}}\right)^{2}=1 $$ (13) 从式(13)中可以看出橡胶减振垫的激励与响应的关系曲线为椭圆，其面积为一个周期内单位体积的材料消耗的能量[11-12].
所以本文试验中ZN-35硅橡胶减振垫的激励与响应曲线也为椭圆. 任意时刻t时ZN-35硅橡胶减振垫所受激励力为
$$ F=m \ddot{x}(t) $$ (14) 同一时刻t该减振垫的响应，即位移，为其压缩量
$$ x=x_{1}(t)-x_{2}(t) $$ (15) 则橡胶减振垫所受激励力与位移的方程为
$$ \left(\frac{F-k x}{\eta k x_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{2}=1 $$ (16) 式中：η=E″/E′；x0为减振垫最大位移，即压缩量，方程曲线如图 5所示.
图 5中F1为减振垫最大位移时力；F0为减振垫位移为0时所受激励力，即无压缩量处力；θ为椭圆倾斜角.
由式(6)可知橡胶减振垫的阻尼系数为
$$ c=\frac{\Delta U}{{\rm{ \mathsf{ π} }} x_{0}^{2} \omega} $$ (17) ΔU为橡胶减振器在一个周期内的能量耗散，体现在迟滞回线上即椭圆的面积值；因为橡胶减振器运动过程形成的迟滞回线椭圆长径值很大，短径值很小，所以椭圆短径可近似简化计算为F0cos θ；椭圆长径为x0/cos θ[13]. 根据椭圆面积公式可以计算得到一个周期内阻尼系数为
$$ c=\frac{\Delta U}{{\rm{ \mathsf{ π} }} x_{0}^{2} \omega}=\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }} F_{0} \cos \theta\left(x_{0} / \cos \theta\right)}{{\rm{ \mathsf{ π} }} x_{0}^{2} \omega}=\frac{F_{0}}{\omega x_{0}} $$ (18) 橡胶减振垫的刚度为椭圆斜率，则
$$ k=\frac{F_{1}}{x_{0}} $$ (19) 2.3 加速度信号处理
由2.2节可知辨识过程中除了系统加速度信号，还需要系统位移信号. 而试验只采集系统加速度信号，故需对加速度信号进行积分处理得到位移信号.
加速度信号积分得到位移信号的过程，即将加速度信号积分得到速度信号，将速度信号积分得到位移信号. 积分可以在时域层面及频域层面处理计算，且频域滤波及积分计算效果更好[14-20].
加速度时域信号ẍ(t)在任何频率下的傅里叶分量都可表示为
$$ \ddot{x}(t)=\ddot{X} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} $$ (20) 对加速度时域信号的分量进行积分可以得到速度时域信号的分量，对速度时域信号的分量进行积分可以得到位移时域信号的分量；将上述积分过程中的时域量替换为频域量则可得到速度与位移的频域量，公式表示为
$$ \dot{x}(t)=\int_{0}^{t} \ddot{X} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} t=\frac{\ddot{X} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}}{\mathrm{i} \omega}=\dot{X} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} $$ (21) $$ x(t)=\int_{0}^{t} \frac{\ddot{X} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}}{\mathrm{i} \omega} \mathrm{d} t=-\frac{\ddot{X} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}}{\omega^{2}}=X \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} $$ (22) 式中：ẍ(t)、ẋ(t)、x(t)分别为加速度信号、速度信号、位移信号在任意频率ω下的分量；频率ω为变量；Ẍ、Ẋ、X为对应的系数；i为虚数.
设Ẍ(ω)、Ẋ(ω)、X(ω)分别为加速度信号、速度信号、位移信号的频域信号，则由
$$ \dot{X}(\omega)=\frac{\ddot{X}(\omega)}{i \omega} $$ (23) $$ X(\omega)=-\frac{\ddot{X}(\omega)}{\omega^{2}} $$ (24) 可得频域ω下加速度信号、速度信号、位移信号三者频域之间的转换关系.
将频域信号Ẋ(ω)、X(ω)的低频数值设置为0可进行频域滤波，消除信号中的直流量与线性趋势项. 取初速度和初位移均为0，对加速度信号分量进行一次和二次积分，可得到速度信号分量和位移信号分量. 最后将频域信号进行傅里叶逆变换可得到速度和位移的时域积分信号ẋ(t)、x(t)，截取平稳段初值为0的信号进行计算，运算流程如图 6所示.
3. 试验结果
振动试验扫频范围均为20~2 000 Hz. 试验整体分为3个部分：1) 20~200 Hz，步长为2 Hz，每个频率采样时长为10 s，采样频率为3 200 Hz；2) 205~1 000 Hz，步长为5 Hz，每个频率采样时长为8 s，采样频率为12 800 Hz；3) 1 010~2 000 Hz，步长为10 Hz，每个频率采样时长为5 s，采样频率为25 600 Hz. 温度均为25 ℃. 图 7为试验现场.
任意抽取试验中部分频率下数据绘制迟滞回线如图 8~10所示.
通过迟滞回线的方法将试验数据代入MATLAB中系统计算得到所有频率下橡胶减振垫刚度与阻尼系统，结果如图 11、12所示.
根据各个迟滞回线图示及最终参数结果曲线图，可以得出橡胶减振垫参数变化情况：
20~200 Hz时，迟滞回线的斜率及面积并不随频率呈现规律变化，橡胶减振垫的刚度及阻尼系数也不随频率的变化而规律变化；205~1 000 Hz时，迟滞回线的斜率随激振频率增大而规律变大，迟滞回线面积随激振频率增大而规律变小，橡胶减振垫刚度随频率变大而变大，阻尼系数随频率变大而变小；1 010~2 000 Hz时，迟滞回线的斜率与面积受激振频率变化的影响很小，橡胶减振垫的刚度及阻尼受频率的影响很小.
3.1 辨识结果分析
由图 11、12可看出，减振垫动态刚度及阻尼系数整体上的变化趋势明显，说明整体试验效果理想，所得参数局部存在波动. 如刚度曲线在200 Hz以下存在凹陷，在700~800 Hz频段出现数值波动.
200 Hz以下的凹陷是因为系统共振的原因，本文通过输入信号与输出信号的振动幅值来确定系统共振区，设
$$ A=\frac{A_{\text {out }}}{A_{\text {in }}} $$ (25) 式中：A为系统输出信号与输入信号振幅比值；Ain为系统输入信号幅值；Aout为系统输出信号幅值.
减振系统的共振区一定为A值最大处，系统输入信号与系统输出信号比值变化见图 13.
从图 13中可以看出系统共振区在100 Hz左右，与辨识参数结果中的凹陷区吻合，所以这个频段内数据的波动是因为系统共振，数据宜剔除.
其他频段处的波动为试验数据误差造成的. 如图 14为500 Hz平稳振动参数段工件信号, 图 15为700 Hz波动振动参数段工件信号. 通过对原始加速度信号的分析发现, 波动频段内工件3号传感器信号有相位差，说明工件或因共振等原因产生左右摆动，致使信号相位紊乱或失真，导致相应数据分析所得结果波动，不是本文所研究的橡胶减振垫单自由度振动情况，故也应剔除.
3.2 参数结果
按3.1节过程处理其余频段内所有数据，剔除辨识结果中无效数据后，对剩余数据进行平滑处理，得出橡胶垫最终振动参数结果，如图 16、17所示.
4. 结论
1) 试验所得结果为以后同类橡胶减振垫的设计提供了数据依据，并为后续验证主曲线等方法预估高频下ZN-35硅橡胶材料减振效果提供了基础数据.
2) 迟滞回线法可以对ZN系列橡胶减振垫进行良好的参数辨识，且运算方便. 设计的试验装置可以对ZN系列硅橡胶减振垫进行良好宽频单自由度振动试验.
3) ZN-35橡胶减振垫的动态刚度整体上随激励频率增大呈缓慢增长趋势，动态阻尼参数整体上随激励频率增大呈缓慢变小趋势.
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