Permanent American Put Option Pricing Formula With Discontinuous Volatility
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摘要:
为了探索一类带有波动率σ的永久美式看跌期权问题，其中σ是一个间断函数，使用包括微分方程理论在内的一些分析技巧，克服了波动率σ的间断性所带来的困难，建立了一类永久美式看跌期权的定价公式.
Abstract:The aim of this paper was to explore a class of permanent American put option problem where the volatility σ is allowed as a discontinuous function. Through fine calculation, we overcame the difficulties caused by the discontinuous volatility σ and find a permanent American put option pricing formula.
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本文致力于研究下列永久美式看跌期权的定价模型：求{V(S), ω}使得
$$ \frac{\sigma^{2}}{2} S^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{~d} S^{2}}+r S \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} S}-r V=0, \omega<S<+\infty $$ (1) $$ V(\omega)=K-\omega $$ (2) $$ V^{\prime}(\omega)=-1 $$ (3) $$ V(+\infty)=0 $$ (4) 式中：V=V(S)为期权；S为原生资产价格；σ为波动率；r为无风险利率.
定解问题(1)~(4)，在数学上称为自由边界问题(free boundary problem)，其中S=ω称为自由边界. 在金融学中，S=ω称为最佳实施边界.
这类期权定价模型，不仅具有重要理论意义，而且还具有明确的金融意义，因而受到人们的普遍关注. 迄今，有关这类模型的研究已经取得了一系列丰富的研究成果，参见文献[1-20].
众所周知，当波动率σ是一个正常数时，这类期权定价模型的研究已经相当完善，详见文献[3]. 但是，当波动率σ是一个间断函数时，包括期权定价公式在内的一些问题还有待于进一步研究，详见文献[3]之第10章.
本文选取σ=σ(S)，是原生资产价格S的一个函数，具有表达式
$$ \sigma=\sigma(S)= \begin{cases}\sigma_{-}, & \text {当 } 0 \leqslant S<v \text { 时 } \\ \sigma_{+}, & \text {当 } v \leqslant S<+\infty \text { 时 }\end{cases} $$ (5) 式中：σ-与σ+为给定的正常数，且σ-≠σ+；v为一个给定的正常数.
主要结果就是下列定理1~3.
定理1 假设式(5)成立. 定义
$$ a_{-}=\frac{2 r}{\sigma_{-}^{2}}, a_{+}=\frac{2 r}{\sigma_{+}^{2}} $$ (6) 如果
$$ v<\frac{a_{+} K}{1+a_{+}} $$ (7) 那么自由边界问题(1)~(4)的解(V(S), ω)具有表达式
$$ V(S)=a_{+}^{a_+}\left(\frac{K}{1+a_{+}}\right)^{a_++1} S^{-a_+} $$ (8) $$ \omega=\frac{a_{+} K}{1+a_{+}} $$ (9) 定理2 定义一个函数
$$ f(x)=x^{m}-p x+q, x \in(0, +\infty) $$ (10) 式中：
$$ p=\frac{\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right) v^{a_{-}+1}}{\left(a_{+}-a_{-}\right) K} $$ (11) $$ q=\frac{a_{-}\left(a_{+}+1\right) v^{a_-+1}}{a_{+}-a_{-}} $$ (12) $$ m=a_{-}+1 $$ (13) 这里a-与a+由式(6)定义. 假定
$$ a_{+}<a_{-} $$ (14) 如果
$$ v>\frac{a_{+} K}{1+a_{+}} $$ (15) 那么自由边界问题(1)~(4)有一个解(V(S), ω)，具有如下性质.
1) 自由边界S=ω就是代数方程式
$$ f(\omega)=0 $$ (16) 在区间(0, v)内唯一解.
2) 期权函数具有表达式
$$ V= \begin{cases}V_{-}(S), & S \in[\omega, v) \\ V_{+}(S), & S \in[v, +\infty)\end{cases} $$ (17) 式中：
$$ V_{-}(S)=\left(\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}-1\right) S+\frac{K \omega^{a_-} S^{-a_-}}{1+a_{-}} $$ (18) $$ \begin{gathered} V_{+}(S)=\\ \left\{\left(\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}-1\right) v^{a_{+}+1}+\frac{K \omega^{a_-}v^{a_{+}-a_-}}{1+a_{-}}\right\} S^{-a_+} \end{gathered} $$ (19) 进一步地，期权函数V(S)在间断点S=v处还满足间断条件
$$ V_{-}(v-0)=V_{+}(v+0) $$ (20) $$ V_{-}^{\prime}(v-0)=V_{+}^{\prime}(v+0) $$ (21) 定理3假设
$$ a_{+}>a_{-} $$ (22) 如果
$$ v>\frac{a_{+} K}{1+a_{+}} $$ (23) 那么自由边界问题(1)~(4)有一个解(V(S), ω)，并且(V(S), ω)具有如下性质.
1) 自由边界S=ω就是代数方程式
$$ f(\omega)=0 $$ (24) 在区间(0, v)内的唯一解.
2) 期权函数具有下列表达式
$$ V= \begin{cases}V_{-}(S), & S \in[\omega, v) \\ V_{+}(S), & S \in[v, +\infty)\end{cases} $$ (25) 式中：
$$ V_{-}(S)=\left(\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}-1\right) S+\frac{K \omega^{a_-}S^{-a_-}}{1+a_{-}} $$ (26) $$ \begin{gathered} V_{+}(S)= \\ \left\{\left(\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}-1\right) v^{a_{+}+1}+\frac{K \omega^{a_-}v^{a_+-a_-}}{1+a_{-}}\right\} S^{-a_+} \end{gathered} $$ (27) 进一步地，期权函数在间断点S=v处还满足间断条件
$$ V_{-}(v-0)=V_{+}(v+0) $$ (28) $$ V_{-}^{\prime}(v-0)=V_{+}^{\prime}(v+0) $$ (29) 注1 当波动率σ为间断函数时，我们将在另一篇文章中给出永久美式看涨期权定价公式. 因此，本文对于永久美式看涨期权的定价公式将不做赘述.
定理1~定理3的证明将在第1~3节中给出. 在第4节，将进一步阐述本文的应用.
1. 定理1的证明
该部分将考虑情况Ⅰ：
$$ \omega \in[v, +\infty) $$ (30) 则对于所有的$ S \in \left[ {\omega , + \infty )} \right. \subset \left[ {v, + \infty )} \right. $，都有$ \sigma \left( S \right) = {\sigma _ + } $.
在$ \left[ {v, + \infty )} \right. $上寻找定解问题(1)~(4)的解. 根据常微分方程理论，需要先找到2个线性无关的特解.
在式(1)中，选取V=Sα，可得
$$ \begin{gathered} 0=\left.\left[\frac{\sigma^{2}}{2} S^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{~d} S^{2}}+r S \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} S}-r V\right]\right|_{V=S^{\alpha}, \sigma=\sigma_{+}}= \\ \frac{\sigma_{+}^{2}}{2} S^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}\left(S^{\alpha}\right)}{\mathrm{d} S^{2}}+r S \frac{\mathrm{d}\left(S^{\alpha}\right)}{\mathrm{d} S}-r\left(S^{\alpha}\right)= \\ \frac{\sigma_{+}^{2}}{2} S^{2} \alpha(\alpha-1) S^{\alpha-2}+r S \alpha S^{\alpha-1}-r S^{\alpha}= \\ {\left[\frac{1}{2} \sigma_{+}^{2} \alpha(\alpha-1)+r \alpha-r\right] S^{\alpha}} \end{gathered} $$ 对于所有$ S \in \left[ {v, + \infty )} \right. $成立. 于是，得出
$$ \frac{1}{2} \sigma_{+}^{2} \alpha(\alpha-1)+r \alpha-r=0 $$ 该一元二次方程有2个实数根
$$ \alpha=1, \alpha=-a_{+} $$ (31) 式中：
$$ a_{+}=\frac{2 r}{\sigma_{+}^{2}} $$ (32) 可得一般解
$$ V(S)=A S+B S^{-a_+} $$ (33) 式中A、B为待定的常数.
使用边界条件式(4)得
$$ 0=V(+\infty)=\lim \limits_{S \rightarrow+\infty} V(S)=\lim \limits_{S \rightarrow+\infty}\left[A S+B S^{-a_+}\right] $$ 这意味着
$$ A=0 $$ (34) 使用自由边界条件(2)得
$$ K-\omega=V(\omega)=A \omega+B \omega^{-a_+} $$ 该式及式(34)表明
$$ B \omega^{-a_{+}}=K-\omega $$ (35) 使用边界条件式(3)得
$$ \begin{gathered} -1=V^{\prime}(\omega)=\left.\left[\frac{\mathrm{d} V(S)}{\mathrm{d} S}\right]\right|_{S=\omega}= \\ \left.\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} S}\left[A S+B S^{-a_+}\right]\right\}\right|_{S=\omega}= \\ \left\{A-a_{+} B S^{-a_{+}-1}\right\} |_{S=\omega}=A-a_{+} B \omega^{-a_{+}-1} \end{gathered} $$ 该式及式(34)表明
$$ -a_{+} B \omega^{-a_{+}-1}=-1 $$ (36) 使用式(36)得
$$ \omega=\left(a_{+} B\right)^{\frac{1}{a_{+}+1}} $$ 代入式(35)得
$$ B\left[\left(a_{+} B\right)^{\frac{1}{a_{+}+1}}\right]^{-a_{+}}=K-\left(a_{+} B\right)^{\frac{1}{a_{+}+1}} $$ 于是
$$ a_{+}^{-\frac{a_{+}}{a_{+}+1}} B^{\frac{1}{a_{+}+1}}=K-a_{+}^{\frac{1}{a_{+}+1}} B^{\frac{1}{a_{+}+1}} $$ 合并同类项得出
$$ \left[a_{+}^{\frac{1}{a_{+}+1}}+a_{+}^{-\frac{a_{+}}{a_{+}+1}}\right] B^{\frac{1}{a_{+}+1}}=K $$ 移项并开方得出
$$ B=\left[\frac{K}{a_{+}^{\frac{1}{a_{+}+1}}+a_{+}^{-\frac{a_{+}}{a_{+}+1}}}\right]^{a_{+}+1} $$ 化简得出
$$ B=a_{+}^{a_+}\left(\frac{K}{1+a_{+}}\right)^{a_{+}+1} $$ (37) 使用式(36)(37)计算
$$ \begin{gathered} \omega^{a_{+}+1}=a_{+} B=a_{+} a_{+}^{a_{+}}\left(\frac{K}{1+a_{+}}\right)^{a_{+}+1}= \\ a_{+}^{a_{+}+1}\left(\frac{K}{1+a_{+}}\right)^{a_{+}+1} \end{gathered} $$ 开方得
$$ \omega=\left[a_{+}^{a_{+}+1}\left(\frac{K}{1+a_{+}}\right)^{a_{+}+1}\right]^{a_{+}+1} $$ 化简得
$$ \omega=\frac{a_{+} K}{1+a_{+}} $$ (38) 则自由边界问题(1)~(4)有解(V, ω)：
$$ V=a_{+}^{a_+}\left(\frac{K}{1+a_{+}}\right)^{a_{+}+1} S^{-a_+} $$ (39) 且
$$ \omega=\frac{a_{+} K}{1+a_{+}} $$ (40) 如果满足条件(30)，即
$$ v<\omega=\frac{a_{+} K}{1+a_{+}} $$ (41) 这表明，如果
$$ v<\frac{a_{+} K}{1+a_{+}} $$ (42) 则自由边界问题(1)~(4)有解(V, ω):
$$ V=a_{+}^{a_{+}}\left(\frac{K}{1+a_{+}}\right)^{a_{+}+1} S^{-a_{+}} $$ (43) $$ \omega=\frac{a_{+} K}{1+a_{+}} $$ (44) 定理1得证.
2. 定理2的证明
该部分考虑下列2种情况：
1) $S \in \left[ {v, + \infty } \right)；2){\rm{ }}S \in \left[ {\omega , v)} \right.$
1) $S \in \left[ {v, + \infty } \right)$
这种情况中，寻找方程(1)的解.
使用式(5)，有
$$ \sigma(S)=\sigma_{+}, S \in[v, +\infty) $$ 根据常微分方程理论，需要找到2个线性无关解.
在方程式(1)中，选取V=Sα，可得
$$ \begin{gathered} 0=\left.\left[\frac{\sigma^{2}}{2} S^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{~d} S^{2}}+r S \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} S}-r V\right]\right|_{V=S^{\alpha}, \sigma=\sigma_{+}}= \\ \frac{\sigma_{+}^{2}}{2} S^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}\left(S^{\alpha}\right)}{\mathrm{d} S^{2}}+r S \frac{\mathrm{d}\left(S^{\alpha}\right)}{\mathrm{d} S}-r S^{\alpha}= \\ \frac{\sigma_{+}^{2}}{2} S^{2} \alpha(\alpha-1) S^{\alpha-2}+r S \alpha S^{\alpha-1}-r S^{\alpha}= \\ {\left[\frac{1}{2} \sigma_{+}^{2} \alpha(\alpha-1)+r \alpha-r\right] S^{\alpha}} \end{gathered} $$ 对于所有的$S \in \left[ {v, + \infty } \right)$成立. 于是，得出
$$ \frac{1}{2} \sigma_{+}^{2} \alpha(\alpha-1)+r \alpha-r=0 $$ 关于α的一元二次方程有2个实数根
$$ \alpha=1, \alpha=-a_{+} $$ 式中${a_ + } = \frac{{2r}}{{\sigma _ + ^2}}$可得一般解
$$ V_{+}(S)=A_{+} S+B_{+} S^{-a_+} $$ (45) 式中${a_ + } = \frac{{2r}}{{\sigma _ + ^2}}$使用式(45)计算得
$$ A_{+}=\frac{V_{+}(S)}{S}-B_{+} S^{-a_{+}-1} $$ 对于所有$S \in \left[ {v, + \infty } \right)$成立. 使用上式和边界条件式(4)，计算得出
$$ \begin{aligned} &A_{+}=\lim \limits_{S \rightarrow+\infty}\left[\frac{V_{+}(S)}{S}-B_{+} S^{-a_{+}-1}\right]= \\ &\lim \limits_{S \rightarrow+\infty} \frac{V_{+}(S)}{S}-\lim \limits_{S \rightarrow+\infty}\left(B_{+} S^{-a_{+}-1}\right)=0 \end{aligned} $$ 因此，得到
$$ A_{+}=0 $$ (46) 2) $S \in \left[ {\omega , v).} \right.$
这种情况下，寻找方程式(1)的解. 根据式(5)，有
$$ \sigma(S)=\sigma_{-}, S \in[\omega, v) $$ 根据常微分方程理论，需要找到2个线性无关解.
在方程式(1)中，选取V=Sα，可得
$$ \begin{gathered} 0=\left.\left[\frac{\sigma^{2}}{2} S^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{~d} S^{2}}+r S \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} S}-r V\right]\right|_{V=S^{\alpha}, \sigma=\sigma_{-}}= \\ \frac{\sigma_{-}^{2}}{2} S^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}\left(S^{\alpha}\right)}{\mathrm{d} S^{2}}+r S \frac{\mathrm{d}\left(S^{\alpha}\right)}{\mathrm{d} S}-r\left(S^{\alpha}\right)= \\ \frac{\sigma_{-}^{2}}{2} S^{2} \alpha(\alpha-1) S^{\alpha-2}+r S \alpha S^{\alpha-1}-r S^{\alpha}= \\ {\left[\frac{\sigma_{-}^{2}}{2} \alpha(\alpha-1)+r \alpha-r\right] S^{\alpha}} \end{gathered} $$ 对于所有$S \in \left[ {\omega , v).} \right.$成立. 于是得出
$$ \frac{\sigma_{-}^{2}}{2} \alpha(\alpha-1)+r \alpha-r=0 $$ 关于α的一元二次方程有2个实数根
$$ \alpha=1, \alpha=-a_{-} $$ 式中${a_ - } = \frac{{2r}}{{\sigma _ - ^2}}$. 可得一般解
$$ V_{-}(S)=A_{-} S+B_{-} S^{-a_{-}} $$ (47) 式中a-如式(6)定义.
现在计算ω、A-、B-、B+.
应用式(20)(45)及式(47)，计算
$$ \begin{gathered} 0=V_{-}(v-0)-V_{+}(v+0)= \\ \lim \limits_{s \rightarrow v-0} V_{-}(S)-\lim \limits_{S \rightarrow v+0} V_{+}(S)= \\ \lim \limits_{s \rightarrow v-0}\left[A_{-} S+B_{-} S^{-a_{-}}\right]- \\ \lim \limits_{s \rightarrow v+0}\left[A_{+} S+B_{+} S^{-a_{+}}\right]= \\ A_{-} v+B_{-} v^{-a_{-}}-A_{+} v+B_{+} v^{-a_+} \end{gathered} $$ 再使用式(46)得出
$$ A_{-} v+B_{-} v^{-a_{-}}=B_{+} v^{-a_+} $$ (48) 应用式(21)(45)及式(47)，计算
$$ \begin{gathered} 0=V_{-}^{\prime}(v-0)-V_{+}^{\prime}(v+0)= \\ \lim \limits_{S \rightarrow v-0} V_{-}^{\prime}(S)-\lim \limits_{S \rightarrow v+0} V_{+}^{\prime}(S)= \\ \lim \limits_{S \rightarrow v-0} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} S}\left[A_{-} S+B_{-} S^{-a}\right]- \\ \lim \limits_{S \rightarrow v+0} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} S}\left[A_{+} S+B_{+} S^{-a_+}\right]= \\ \lim \limits_{S \rightarrow v-0}\left[A_{-}+a_{-} B_{-} S^{-a_{-}-1}\right]- \\ \lim \limits_{S \rightarrow v+0}\left[A_{+}-a_{+} B_{+} S^{-a_+-1}\right]= \\ {\left[A_{-}-a_{-} B_{-} v^{-a_{-}-1}\right]-\left[A_{+}-a_{+} B_{+} v^{-a_{+}-1}\right]} \end{gathered} $$ 再使用式(46)得出
$$ A_{-}-a_{-} B_{-} v^{-a_{-}-1}=-a_{+} B_{+} v^{-a_{+}-1} $$ (49) 应用自由边界条件式(2)，可得
$$ \begin{gathered} 0=\left.\{V(S)-[K-S]\}\right|_{V(S)=V_{-}(S), S=\omega}= \\ \left.\left\{V_{-}(S)-[K-S]\right\}\right|_{S=\omega}= \\ V_{-}(\omega)-[K-\omega]= \\ \left(A_{-} \omega+B_{-} \omega^{-a_-}\right)-(K-\omega) \end{gathered} $$ 这表明
$$ A_{-} \omega+B_{-} \omega^{-a_{-}}=K-\omega $$ (50) 应用边界条件式(3)，可得
$$ \begin{gathered} 0=\left.\left\{V^{\prime}(S)+1\right\}\right|_{V=V_{-}(S), S=\omega}= \\ \left.\left\{V_{-}^{\prime}(S)+1\right\}\right|_{S=\omega}= \\ \left.\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} S}\left[A_{-} S+B_{-} S^{-a_-}\right]+1\right\}\right|_{S=\omega}= \\ \left.\left\{A_{-}-a_{-} B_{-} S^{-a_-{-1}}+1\right\}\right|_{S=\omega}=\\ A_{-}-a_{-} B_{-} \omega^{-a_{-}-1}+1 \end{gathered} $$ 这表明
$$ A_{-}-a_{-} B_{-} \omega^{-a_{-}-1}=-1 $$ (51) 在式(51)两端，同乘$\frac{\omega }{{{a_ - }}}$得出
$$ \frac{\omega A_{-}}{a_{-}}-B_{-} \omega^{-a_{-}}=-\frac{\omega}{a_{-}} $$ 给出
$$ A_{-}=\frac{K-\omega-\frac{\omega}{a_{-}}}{\omega+\frac{\omega}{a_{-}}} $$ 化简得出
$$ A_{-}=\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}-1 $$ (52) 使用式(51)(52)计算
$$ \begin{gathered} 0=A_{-}-a_{-} B_{-} \omega^{-a_{-}-1}+1= \\ {\left[\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}-1\right]-a_{-} B_{-} \omega^{-a_{-}-1}+1} \end{gathered} $$ 解出
$$ B_{-}=\frac{K \omega^{a_{-}}}{1+a_{-}} $$ (53) 在式(48)两边同乘以a+v-1之后，再加上式(49)，得出
$$ a_{+} v^{-1}\left[A_{-} v+B_{-} v^{-a_{-}}\right]+\left(A_{-}-a_{-} B_{-} v^{-a_{-}-1}\right)=0 $$ 合并同类项得出
$$ \left(1+a_{+}\right) A_{-}+\left(a_{+} v^{-a_{-}-1}-a_{-} v^{-a_{-}-1}\right) B_{-}=0 $$ 整理得出
$$ \left(1+a_{+}\right) v^{1+a_-} A_{-}+\left(a_{+}-a_{-}\right) B_{-}=0 $$ (54) 把式(52)(53)代入式(48)，得出
$$ \left[\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}-1\right] V+\frac{K \omega^{a_-}}{1+a_{-}} v^{-a_{-}}=B_{+} v^{-a_{+}} $$ 解得
$$ B_{+}=\left(\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}-1\right) v^{a_{+}+1}+\frac{K \omega^{a_{-}}v^{a_{+}-a_{-}}}{1+a_{-}} $$ (55) 把式(52)(53)代入式(54)计算
$$ \begin{gathered} 0=\left(1+a_{+}\right) v^{1+a_-}A_{-}+\left(a_{+}-a_{-}\right) B_{-}= \\ \left(1+a_{+}\right) v^{1+a_-}\left[\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}-1\right]+ \\ \left(a_{+}-a_{-}\right) \frac{K \omega^{a_-}}{1+a_{-}}=\frac{a_{-}\left(1+a_{+}\right) v^{1+a_-}K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}- \\ \left(1+a_{+}\right) v^{1+a_-}+\frac{\left(a_{+}-a_{-}\right) K}{1+a_{-}} \omega^{a_-}= \\ \frac{\left(a_{+}-a_{-}\right) K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}\left[\omega^{a_{-}+1}-\frac{\left(1+a_{+}\right)\left(1+a_{-}\right) v^{1+a_-}}{\left(a_{+}-a_{-}\right) K} \omega+\right.\\ \left.\frac{a_{-}\left(a_{+}+1\right) v^{a_{-}+1}}{a_{+}-a_{-}}\right]=\frac{\left(a_{+}-a_{-}\right) K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}\left[\omega^{m}-p \omega+q\right] \end{gathered} $$ 式中p、q、m如式(11)~(13)所示. 由于
$$ \frac{\left(a_{+}-a_{-}\right) K}{\left(1+a_{-}\right) \omega} \neq 0 $$ 因此，上述计算表明
$$ f(\omega)=\omega^{m}-p \omega+q=0 $$ (56) 假设
$$ a_{+}<a_{-} $$ (57) 事实上，如果式(57)成立，使用式(11)，可得
$$ p<0 $$ (58) 应用式(10)(58)得
$$ f^{\prime}(x)=m x^{m-1}-p>0, x \in(0, +\infty) $$ (59) 这表明，函数f′(x)在(0, +∞)内严格单调增加，进一步，还有
$$ \begin{gathered} f(0)=\left.f(x)\right|_{x=0}=\left.\left(x^{m}-p x+q\right)\right|_{x=0}=q= \\ \frac{a_{-}\left(a_{+}+1\right) v^{a_-+1}}{a_{+}-a_{-}} \end{gathered} $$ 该式及式(57)表明
$$ f(0)=q<0 $$ (60) 综合式(59)(60)，可以断言：代数方程
$$ f(x)=0 $$ (61) 在(0, v)上有唯一解，当且仅当
$$ f(v)=v^{m}-p v+q>0 $$ (62) 另一方面，使用式(11)~(13)计算
$$ \begin{gathered} f(v)=v^{m}-p v+q= \\ v^{a_{-}+1}-\frac{\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right) v}{\left(a_{+}+a_{-}\right) K} v+\frac{a_{-}\left(a_{+}+1\right) v^{a_{-}+1}}{a_{+}+a_{-}}= \\ v^{a_{-}+1}\left[1-\frac{\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right) v}{\left(a_{+}+a_{-}\right) K}+\frac{a_{-}\left(a_{+}+1\right)}{a_{+}+a_{-}}\right]= \\ v^{a_{-}+1}\left[\frac{a_{+}\left(1+a_{-}\right)}{a_{+}+a_{-}}-\frac{\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right)}{\left(a_{+}+a_{-}\right) K} v\right]= \\ \frac{\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right) v^{a_{-}+1}}{\left(a_{+}+a_{-}\right) K}\left[\frac{a_{+} K}{1+a_{+}}-v\right]= \\ -\frac{\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right) v^{a_-}+1}{\left(a_{+}+a_{-}\right) K}\left[v-\frac{a_{+} K}{1+a_{+}}\right] \end{gathered} $$ 这表明
$$ f(v)=\frac{\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right) v^{a_-+1}}{\left(a_{+}-a_{-}\right) K}\left[v-\frac{a_{+} K}{1+a_{+}}\right] $$ (63) 使用式(57)，又可断言：f(v)>0当且仅当
$$ v>\frac{a_{+} K}{1+a_{+}} $$ 综合该不等式及式(61)(62)，断言：
在式(14)~(15)条件下，代数方程f(x)=0
在(0, v)是有唯一解. 定理2得证.
3. 定理3的证明
类似于定理1.2的计算，得到下列结论1和结论2.
结论1 当$S \in \left[ {v, + \infty } \right)$时，期权函数
$$ V_{+}(S)=A_{+} S+B_{+} S^{-a_+} $$ 式中A+与B+为待定常数.
结论2 当$S \in \left[ {\omega , v).} \right.$时，期权函数
$$ V_{-}(S)=A_{-} S+B_{-} S^{-a_{-}} $$ 式中A-与B-为待定常数.
同样，类似于定理1.2的计算，使用边界条件(2)~(4)以及间断条件(28)~(29)得出
$$ A_{+}=0 $$ $$ B_{+}=\left[\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}-1\right] v^{a_{+}+1}+\frac{K \omega^{a_{-}}-v^{a_+-a_{-}}}{1+a_{-}} $$ $$ A_{-}=\frac{a_{-} K}{\left(1+a_{-}\right) K}-1 $$ $$ B_{-}=\frac{K \omega^{a_{-}}}{1+a_{-}} $$ 把A-与B-表达式代入式(54)，类似于定理1.2的计算得出
$$ 0=\frac{\left(a_{+}-a_{-}\right) K}{\left(1+a_{-}\right) \omega}\left[\omega^{m}-p \omega+q\right] $$ 即
$$ f(\omega)=\omega^{m}-p \omega+q=0 $$ 式中p、q、m定义如式(11)~(13)所示.
上述诸结论，都是在最佳实施边界$S = \omega \in \left( {0, v} \right)$的假设下推导完成的.
接下来，只须证明当a+>a-, $v > \frac{{{a_ + }K}}{{1 + {a_ + }}}$时，代数方程f(x)=0在$x \in \left( {0, v} \right)$内只有一个正的实数根. 那么这个正的实数根就是要寻找的最佳实施边界S=ω.
事实上，使用式(22)，有
$$ a_{+}>a_{-} $$ (64) 事实上，如果式(64)成立，则使用式(11)(12)得
$$ p>0, q>0 $$ (65) 再使用式(10)，对于所有的$x \in \left( {0, + \infty } \right)$，计算
$$ f^{\prime}(x)=m x^{m-1}-p $$ (66) 另一方面，还有
$$ f(0)=q>0 $$ (67) 式中q如式(12)所示.
进一步，使用式(10)~(13)和式(64)，计算
$$ \begin{gathered} f(v)=v^{m}-p v+q=v^{a_{-}+1}- \\ \frac{\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right) v^{a_{-}+1}}{\left(a_{+}+a_{-}\right) K} v+\frac{a_{-}\left(a_{+}+1\right) v^{a_{-}+1}}{a_{+}+a_{-}}= \\ v^{a_{-}+1}\left[\frac{a_{+}\left(1+a_{-}\right)}{a_{+}+a_{-}}-\frac{\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right)}{\left(a_{+}+a_{-}\right) K} v\right]= \\ \frac{-\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right) v^{a_{-}+1}}{\left(a_{+}+a_{-}\right) K}\left[v-\frac{a_{+} K}{1+a_{+}}\right] \end{gathered} $$ 应用该式及式(23)得
$$ f(v)<0 $$ (68) 应用式(66)，可以找到唯一的正根X，使得
$$ f^{\prime}(X)=0 $$ (69) 式中
$$ X=\left(\frac{p}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}} $$ (70) 使用式(66)(69)得出
$$ f^{\prime}(x)=m x^{m-1}-p<0, x \in(0, X) $$ $$ f^{\prime}(x)=m x^{m-1}-p>0, x \in(X, +\infty) $$ 表明f(x)在(0, X)内严格单调增加. 这意味着，f(x)在x=X处取到(0, +∞)内的最小值，即
$$ f(X)=\min \limits_{x \in(0, +\infty)} f(x) $$ (71) 使用式(11)~(13)，计算
$$ \begin{gathered} X^{m-1}-v^{m-1}=\frac{p}{m}-v^{m-1}= \\ \frac{\left[\frac{\left(a_{-}+1\right)\left(a_{+}+1\right) v^{a_{-}+1}}{\left(a_{+}+a_{-}\right) K}\right]}{\left[a_{-}+1\right]-v^{\left(a_{-}+1\right)-1}}= \\ \frac{\left(1+a_{+}\right) v^{1+a_-}}{\left(a_{+}-a_{-}\right) K}-v^{a_{-}}= \\ \frac{\left(1+a_{+}\right) v^{a_-}}{\left(a_{+}-a_{-}\right) K}\left(v-\frac{\left(a_{+}-a_{-}\right) K}{a_{+}+1}\right) \end{gathered} $$ 应用式(23)，并且使用上述不等式，可得
$$ X^{m-1}-v^{m-1}>0 $$ 于是得出
$$ X>v $$ (72) f(x)在(0, X)内严格单调减少，且使用式(72)可以断言，f(x)在(0, v)(0, X)内也严格单调减少. 进一步，还有
$$ f(0)=q>0, f(v)<0 $$ 应用数学分析技巧，代数方程f(x)=0在(0, v)内有唯一解$x = \omega \in \left( {0, v} \right)$. 因此定理3得证.
4. 结论
1) 使用待定系数法，求解Black-Scholes方程解的2个分支.
2) 把Black-Scholes方程解的2个分支进行拼接. 在拼接处，需要满足包括解的连续性在内的一些间断条件.
3) 当波动率σ是间断函数时，找到了一个永久美式看跌期权的定价公式. 这个公式丰富了期权定价理论. 它不仅给投资者提供了规避金融风险的理论，也为管理者制定金融政策提供了重要参考.
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[1] BUFF R. Uncertain volatility methods theory and applications[M]. New York: Springer Verlag, 2002: 33-78.
[2] HULL J C. Options, futures and other derivatives[M]. New Jersey: Prentice Hall, 2003: 22-54.
[3] JIANG L. Mathematical modeling and methods of option pricing[M]. Singapore: World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2005: 113-200.
[4] MERTON R C. Continuous-time finance[M]. New Jersey: Wiley-Blackwell, 1997: 90-108.
[5] FRIEDMAN A. Variational principles and free boundary problems[M]. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1982: 17-33.
[6] HULL J. Options, futures and other derivatives[M]. 4th ed. New Jersey: Prentice-Hall, 2000: 155-173.
[7] JIANG L. Analysis of pricing American options on the maximum (minimum) of two risk assets[J]. Interface & Free Boundary, 2002, 4: 27-46. http://www.onacademic.com/detail/journal_1000042326022799_ef80.html
[8] JIANG L, BIAN B. Identifying the principal coefficient of parabolic equations with non-divergent form[J]. Journal of Physics: Conference Series, 2005, 12: 48-65. http://iopscience.iop.org/1742-6596/12/1/006/pdf/1742-6596_12_1_006.pdf
[9] JIANG L, BIAN B. The regularized implied local volatility equations-a new model to recover the volatility of underlying asset from option pricing[R]. Shanghai: Tongji University, 2005: 1-33.
[10] JIANG L, DAI M. On path-dependent options, mathematical finance-theory & applications[M]. Beijing: Higher Education Press, 2005: 290-317.
[11] JIANG L, DAI M. Convergence of explicit difference scheme and binomial tree method for American options[J]. Journal of Computational Mathematics, 2004, 22(3): 371-380. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2056293
[12] JIANG L, DAI M. Convergence of binomial method for European/American path-dependent options[J]. SIAM Journal of Numerical Analysis, 2004, 42: 1094-1109. doi: 10.1137/S0036142902414220
[13] JIANG L, TAO Y. Identifying the volatility of underlying assets from option prices[J]. Inverse Problems, 2001, 17: 137-155. doi: 10.1088/0266-5611/17/1/311
[14] JIANG L, CHEN Q, WANG L, et al. A new well-posed algorithm to recover implied volatility[J]. Quantitative Finance, 2003, 3: 451-457. http://www.researchgate.net/profile/Qihong_Chen/publication/227624272_A_new_well-posed_algorithm_to_recover_implied_local_volatility/links/0f31752fc323b637f8000000
[15] JIANG L, YANG D, ZHANG S. On pricing model of reset option with N predetermined levels[J]. Journal of Systems Science & Complexity, 2004, 17: 137-142. http://epub.cnki.net/grid2008/docdown/docdownload.aspx?filename=XTYW200401013&dbcode=CJFD&year=2004&dflag=pdfdown
[16] KARATZAS I, SHREVE S. Methods of mathematical finance[M]. New York: Springer Verlag, 1998: 125-132.
[17] MUSIELA M. RUTKOWSKI M. Martingale methods in financial modelling[M]. New York: Springer Verlag, 1998: 136-151.
[18] RICHTMYER R D. Difference methods for initial-value problems[M]. New York: Inter-science Publishers, Inc, 1957: 1-25.
[19] WILMOTT P, DEWYNNE J N, HOWISON S D. Option pricing: mathematical models and computation[M]. Oxford: Oxford Financial Press, 1993: 307-321.
[20] WILMOTT P. Derivatives: the theory and practice of financial engineering[M]. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1998: 513-529.
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