NGSIM Vehicle Trajectory Reconstruction
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摘要:
下一代交通仿真（next generation simulation，NGSIM）车辆轨迹数据存在异常值和测量误差，为了使其准确可用，在建模之前需要对NGSIM车辆轨迹进行重构.建立了两步车辆轨迹数据重构算法：1）通过小波分析和物理约束界限值识别两类异常值，并分别采用拉格朗日5次和3次多项式插值对异常值进行重新估计；2）在保证信号能量比的前提下，根据卡尔曼滤波算法对车辆轨迹进行滤波去噪.通过对NGSIM车辆轨迹数据库I-80中的样本轨迹进行重构，速度曲线和加速度曲线以及Jerk分析表明该轨迹重构算法使模型建立更加精确.之后，将该算法应用于整个数据库中，加速度分布图表明轨迹重构效果良好.
Abstract:Many outliers and measurement errors exist in the next generation simulation (NGSIM) data. To make the vehicle trajectories more precise and usable for researching, they should be reconstructed before establishing certain models. In this paper, a two-step model was developed:1) The two patterns of outliers were identified by wavelet analysis and physical restricts and modified by 5th-degree and 3th-degree Lagrange polynomial interpolation, respectively; 2) The Kalman filter, taking signal energy into account, was conducted to filter the noises in NGSIM data. The performance of the two-step model was supported by the speed curve, acceleration curve, and jerk analysis from the NGSIM database I-80. Finally, this method was implemented to reconstruct all the vehicle trajectories in NGSIM data, and the acceleration distribution indicated that the performance was very good.
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车辆轨迹数据为交通微观模型研究提供了重要的数据支撑，实现车辆轨迹数据提取的方法有很多，大致可分为两类：基于GPS的轨迹数据和视频提取的轨迹数据.首先，凭借精确的定位导航功能，GPS在早期的研究中得到了广泛的应用(如文献[1-3]).其次，随着计算机技术的发展，视频轨迹提取技术以其高精度和需要的人力少等优点受到研究者的青睐，各种视频提取软件也应运而生.如Wei等[4]开发的VEVID视频轨迹提取软件；曹雨等[5]应用的SIMI；日本学者Chu等[6-7]应用的TrafficAnalyzer-Georgy.
然而，采用上述方法提取的车辆轨迹不仅精度受到怀疑，而且后期数据处理需要大量的人力、物力.为了以较小的工作量得到大量且详细准确的车辆轨迹数据，美国交通联邦公路局在2002年开始了下一代交通仿真(next generation simulation, NGSIM)项目，其目的旨在为微观交通仿真模型的建立和验证提供数据支持.然而，尽管NGSIM被公认为最全面的车辆数据库，但是大部分实测收集到的数据都有异常值和观测误差，NGSIM数据也不例外.这些异常值和观测误差对模型的标定和验证有很大的负面影响.更糟糕的是当用观测的轨迹数据通过一阶导数和二阶导数计算车辆速度和加速度时，这种观测误差会被放大.因为NGSIM轨迹数据采集间隔时间为0.1 s，所以在NGSIM中通过纵向轨迹数据“LocalY”计算得到的速度和加速度会分别放大10倍和100倍，这将导致非常严重的后果.
最早在文献中指出NGSIM车辆轨迹数据存在测量误差的是伯克利大学的Lu等[8].为了研究在高速公路上交通冲击波的传播速度，他们采用低通线性滤波器——Butterworth过滤速度-时间曲线在纵向轨迹中的噪声.之后，各种各样的轨迹重构技术开始被应用到NGSIM车辆轨迹重构上，比如移动平均值法、低通和高通滤波、小波分析以及卡尔曼滤波.
移动平均法因其简单、易操作受到很多学者的欢迎，如Duret等[9]，为了避免噪声的影响，他们将NGSIM车辆轨迹数据中的瞬时速度以1.2 s为间隔进行移动平均计算，结果表明以1.2 s进行滤波能够得到的速度曲线不仅平滑性好，而且能够保持原有的速度变化特性；Zheng等[10]采用简单加权移动平均法平滑NGSIM车辆轨迹数据中的速度曲线，移动跨度为1 s；Hou等[11]使用简单移动平均法平滑NGSIM车辆轨迹数据中的速度曲线，从而建立并检验换道模型.
稍微复杂一点的移动平均法——对称指数移动平均法(symmetric exponential moving average filter，sEMA)，此方法是由Thiemann等[12]在利用NGSIM车辆轨迹数据研究加速度和换道行为时被提出的.在研究中他们注意到，通过求一阶导数和二阶导数得到的速度和加速度值远远超过车辆性能和人体所承受的界限值.为了消除这种不合理性，他们建立对称指数移动平均法，对车辆的纵向轨迹以及通过求导得到的速度和加速度进行移动平均.在之后的NGSIM车辆轨迹数据研究中这种方法得到了广泛的应用，如文献[13-15].
对于哪一种方法更好一点，一些学者做了对比性研究. Herrera等[16]在对NGSIM车辆轨迹数据进行重构时，采用Nudging法和卡尔曼滤波法进行对比性研究，研究结果表明卡尔曼滤波法稍微优于Nudging法；Marczak等[17]在研究跟驰行为时对比了卡尔曼滤波法、I样条曲线法、对称指数移动平均法(sEMA)、局部加权回归法和低通滤波法(Butterworth)，结果表明当以不同的指标(如速度分布曲线、加速度分布曲线、加速度标准差和Jerk分析)来评价时，每个方法都有自己的长处. Montanino等[18]提出了与其相似的观点，由于真实的轨迹是未知的，评价轨迹重构方法的好坏，最为可行的办法是通过仿真比较它们哪个最符合实际，哪种方法最可靠.
尽管上述文献意识到NGSIM车辆轨迹数据存在异常值和测量误差并对其轨迹重构做了一些努力，但是它们没有清晰地描述异常值和测量误差是由于什么原因产生的、怎样发现的、错误数据占多大的比例、怎样判断重构后的车辆轨迹数据是可使用的.这些问题在文献[19-20]中得到了系统的解答(这2篇文献相似，只是后者更加详细清楚)，该文献旨在以量化的方法检测轨迹数据.首先是量化测量误差在某一点上产生和在整个线路上累积的机理，其次给出误差传播的作用和相关一致性要求，最后通过Jerk分析(加速度的加速度，即加速度的导数)、一致性分析和频率光谱分析全面认识异常数据在NGSIM数据库中所占的比例.在文献[20]中，Punzo等帮助读者清晰地认识到测量误差的存在和危害，同时建立了评价轨迹重构的优劣评价指标，但是他们并没有对NGSIM车辆轨迹进行重构.此项工作在2013年取得了突破，Montanino等[21]提出四步法实现对NGSIM车辆轨迹数据的重构：1)删除轨迹数据中的异常值；2)通过低通滤波器过滤高频和中高频的速度值所对应的轨迹数据；3)消除不符合物理特性的加速度值所对应的轨迹数据；4)再次使用2)中的低通滤波器对轨迹数据进行滤波去噪.然而四步法只能保证内部一致性，即单辆车轨迹的一致性，而不能满足车组间一致性，即车与车之间的(前后车之间的)轨迹一致性.在2015年，Montanino等[18]又对四步法进行了改进，使其既能满足内部一致性，又能保证车辆组间一致性.
此外还有文献建立了两步轨迹重构法，如Wang等[22]，在研究跟驰模型和驾驶类型时建立两步法：1)修正通过一阶导数和二阶导数计算的速度和加速中明显的错误值；2)采用无轨迹卡尔曼滤波法(unscented Kalman filter，UKF)去除轨迹数据中的白噪声.另一篇文献是Fard等[23]建立的两步法：1)通过小波变换识别和修正异常值；2)利用小波滤波器去除白噪声.
作者认为，无论使用什么方法重构NGSIM车辆轨迹，只要满足你所选的评价指标的要求(当然，指标选取要合理)并且保证原始数据的特性和结构特征，该方法就是一个好的车辆轨迹重构方法.因为NGSIM车辆轨迹数据中存在大量的异常值和测量(比如，文献[20]指出，在I80-1的数据库中，1 s内Jerk正负号变化超过一次的占90.5%)，所以一步轨迹重构方法是不可取的.另外，多步轨迹重构方法也是不可取的，虽然最终得到的轨迹比较平滑，但是非常有可能出现“过处理”，即改变原始数据的结构特征(虽然作者不能证实这件事情，但我们都听说过“过拟合”).
因此，本文提出两步车辆轨迹重构算法实现NGSIM车辆轨迹重构：1)依据小波分析和物理约束界限值识别第一类和第二类异常值，并分别用拉格朗日5次和3次多项式插值对其进行重新估计；2)在1)的基础上通过卡尔曼滤波消除NGSIM车辆轨迹数据中的白噪声.
1. 两类异常值和测量误差简介
在前人的文献[18, 21, 23]中，NGSIM车辆轨迹数据库I80-1中车辆编号1882被作为样本车用来检验车辆轨迹重构后的效果，因此本论文也使用该车的车辆轨迹作为异常值介绍、轨迹重构和结果展示的样本车.
通过对纵向车辆轨迹求一阶导数得到车辆的速度分布曲线(如图 1所示)，可以清晰地看到有两类异常值存在.第一类异常值太突出，影响范围大，如图 1中椭圆所示处.通过放大第一个第一类异常值(如表 1所示)，第130帧(1 s分为10帧)处的速度为37.69 km/h，远远高于周围第128、129和131、132帧的速度值.这是因为计算机未能识别该处车辆在此帧画面中的位置，因此，第130帧的速度值是前两帧的累积值.之所以出现这样的识别错误，可能是因为周围环境的变换，如光线、树荫、不明飞行物等不确定因素，这些因素导致该辆车在此帧周围的识别度变差，因此其周围的轨迹值亦不准确.第二类异常值(如图 1箭头所示处)与第一类异常值相比，其数值变化较平缓，影响范围小，但是此处的加速度值会超出车辆性能和人体的承受度[-8 m/s2, 5 m/s2][18]，所以亦需要修正.
表 1 部分第一类异常值Table 1. Part of first pattern of outliers帧序列 126 127 128 129 130 131 132 133 速度/(km·h-1) 14.32 9.88 0.00 0.00 37.69 9.90 0.40 0.00 测量误差是指测量值与真实值之间的差.测量误差是真实存在且不可避免、不可消除的，只能从某种程度上进行削弱.导致测量误差的因素有很多，如外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善以及理论公式的近似限制或测量方法等.这种在真实值上下浮动的测量误差可以看作白噪声(均值为0，方差为σ)，而白噪声是可以用信号处理技术过滤掉的，如移动平均、小波去噪和卡尔曼滤波去噪.
2. 车辆轨迹重构算法理论基础
因为不同类型的异常值和观测误差对轨迹数据的影响程度和范围不同，所以单一的算法很难得到完美的车辆轨迹重构数据.本文建立了两步轨迹重构算法.
第一步 重新估计两类异常值：依据小波分析识别第一类异常值，并以拉格朗日5次多项式插值对异常值进行重新估计；根据车辆性能和人体极限决定的物理度界限值(即加速度值)识别第二类异常值，并用拉格朗日3次多项式插值重新估计此类异常值(关于使用不同多项式进行估计的原因将在第3.1.2节给出).
第二步 消除车辆轨迹中的噪声：第一步完成后，车辆轨迹数据中的测量误差和估计误差可以假设为白噪声，因此可以通过滤波技术对其进行去噪.本算法在考虑信号能量比的前提下采用卡尔曼滤波去噪.
本节主要介绍车辆轨迹重构算法设计中的基础理论：小波分析、拉格朗日多项式插值和卡尔曼滤波算法.
2.1 小波分析
一般的信号为时间域的信号，有时为了详细地了解该信号，需要知道其时间域和频域的信息，为此，小波变换应运而生.小波变换有两种，分别是连续小波变换和离散小波变换.连续小波变换公式[24]为
$$ \mathrm{CWT}_{x}^{\psi}(\tau, s)={\mathit{\Psi}}_{x}^{\psi}(\tau, s)=\frac{1}{\sqrt{|s|}} \int \boldsymbol{x}(t) \psi^{*}\left(\frac{t-\tau}{s}\right) \mathrm{d} t $$ (1) 式中：x(t)为时间域的信号; τ为平移系数; s为缩放系数; ψ(t)为变换函数，或母小波.式(1)需要连续的积分，这样会消耗大量的计算时间和资源，而且在使用计算机实现的过程中就会遇到离散化的问题.因此，在实际应用过程中常常采用离散小波获得时间域和频域的信息.
与连续小波变换相比，离散小波变换更容易操作，运算时间少.针对变换域的缩放系数s和平移系数τ进行何种离散化以消除变换中的冗余，在实际中并没有唯一的形式，但一般常取τ=2-j和s=2-jk，其中j, k∈$\mathbb{Z}$.所以离散小波变换可表达为[25]
$$ \operatorname{DWT}(j, k)=\left\langle\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{\psi}_{j, k}(t)\right\rangle $$ (2) 式中：
$$ \boldsymbol{\psi}_{j, k}(t)=2^{\frac{j}{2}} \boldsymbol{\psi}\left(2^{j} t-k\right) $$ 经过离散小波变换的信号，每一水平都包含两部分——近似系数和细节系数，近似系数又可分解为下一水平的近似系数和细节系数.本文特别注意细节系数，因为信号重构以后，重构信号可以提供异常值所在的位置和程度信息，即细节系数高于周围的值或变化巨大的值被认为是异常值.
2.2 拉格朗日多项式插值
研究者总是希望能够找到自变量和因变量之间的确切函数，但是这种确定的函数往往实际中很难找到，大多数情况下得到的是一张离散的表格.比如，n+1个离散点{xi}i=0n，其中xi∈[a, b], 对应n+1个函数值{f(xi)}i=0n，对于一个x∈[a, b]但x∉{xi}i=0n时，就不知道其对应的函数值f(x).如果能找到一个p(xi)使得公式[26]
$$ p\left(x_{i}\right)=f\left(x_{i}\right) \quad(i=0, 1, 2, \cdots, n) $$ (3) 成立，那么计算函数p(x)的方法就叫插值法，函数p(x)称为插值函数，f(x)成为被插值函数，{xi}i=0n称为插值节点.
对于同一个问题来讲，在不同的插值函数类中求得的插值函数逼近函数的效果是不同的，当选择为代数多项式时，就称为多项式插值，其中拉格朗日多项式插值为[26]
$$ L_{n}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n} l_{k}(x) f(k) $$ (4) 式中：Ln(x)为拉格朗日多项式插值；lk(x)为n次多项式，其公式[28]为
$$ l_{k}(x)=\prod\limits_{j=0 \atop j \neq k}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}} $$ (5) 式中j、k为已知的插值节点.
2.3 卡尔曼滤波
一般地，一个离散的随机系统可以描述为状态空间模型，如公式[27]
$$ \boldsymbol{x}(t+1)={\boldsymbol{\varPhi}} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(t)+\boldsymbol{\varGamma} \boldsymbol{w}(t) $$ (6) $$ \boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{H} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{v}(t) $$ (7) 它们分别称为状态方程和观测方程.式中：x(t)为状态系统的向量；y(t)为观测系统的向量；Φ、B、Γ、H为系数矩阵，在时变系统中，Φ和H又称为状态转移矩阵和测量矩阵；u(t)为输入控制(已知量)，在实践中常被设为0(本论文中为0)；w(t)为输入白噪声；v(t)为观测噪声.
卡尔曼滤波是用反馈的方法估计过程状态(即滤波器估计过程的某一时刻的状态)，然后以含噪声的测量变量的方式获得反馈.因此卡尔曼滤波可分为两个部分：时间更新方程和测量更新方程.时间更新方程负责及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计值，以便为下一个时间状态构造先验估计，其方程包括公式[28]
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat x}}{(t)^ - } = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} \hat x}}(t - 1) $$ (8) $$ \mathit{\boldsymbol{P}}{(t)^ - } = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} P}}(t - 1){\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}^T} + \mathit{\boldsymbol{Q}} $$ (9) 式中：“$\wedge$”为估计值；“-”为先验值；P(t)为估计误差协方差；Q为w(t)的方差矩阵，过程噪声协方差Q是很难确定的，因为无法直接观测到过程信号.
测量更新方程负责反馈，即它先将先验估计和新的测量变量结合以构造改进后的后验估计.其方程包括[28]
$$ \boldsymbol{K}(t)=\boldsymbol{P}(t)^{-} \boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{H} \boldsymbol{P}(t)^{-} \boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{R}\right)^{-1} $$ (10) $$ \hat{\boldsymbol{x}}(t)=\hat{\boldsymbol{x}}(t)^{-}+\boldsymbol{K}(t)\left(\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{H} \hat{\boldsymbol{x}}(t)^{-}\right) $$ (11) $$ \boldsymbol{P}(t)=(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}(t) \boldsymbol{H}) \boldsymbol{P}(t)^{-} $$ (12) 式中：K(t)为卡尔曼增益；R为v(t)方差矩阵，观测噪声协方差R一般可以观测得到，因此通常离线获取一些系统观测值以计算测量噪声协方差.
时间更新方程可视为预估方程，测量更新方程可视为校正方程，最后的估计算法称为一种具有数值解的预估计-校正算法.计算完时间更新方程和测量更新方程，整个过程再次重复.上一次计算得到的后验估计被作为下一次计算的先验估计.这种递归推算是卡尔曼滤波最吸引人的特性之一，它比其他滤波更容易实现.卡尔曼滤波的整个操作流程如图 2所示.
3. 车辆轨迹重构算法的实施和结果
在第2节提到因为能够得到时间域和频域信息，离散的小波变化受到信号处理研究者的青睐，其功能之一就是识别异常值所在的位置和程度；拉格朗日多项式插值是一种简单的数值估计方法，因为不需要知道自变量和因变量之间确切的函数关系；卡尔曼滤波以其强大的滤波功能应用于社会的各个行业.本节主要介绍两步车辆轨迹重构算法的实施，以及在实施过程中应注意的问题，并以速度和加速度曲线、频率光谱图和Jerk分析验证车辆轨迹重构算法的可实施性.本节使用的样本车是NGSIM轨迹数据库I-80中编号为1882的小汽车.
3.1 重新估计两类异常值
3.1.1 第一类异常值的识别和估计
识别异常值和对异常值的重新估计是第二步用卡尔曼滤波的前提，其成功与否直接决定着卡尔曼滤波的效果.第一类异常值最显著的特点是经过离散小波变换和信号重构以后，其细节系数要么高于，要么低于其周围的值.那么异常值比周围系数高多少或低多少才能被称为异常值呢？这里可依据公式[23]
$$ \operatorname{Thr}(j, z)=\mu_{j} \pm z \sigma_{j} $$ (13) 确定.式中：Thr(j, z)为判读异常值的界限值；μj为在j水平的细节系数平均值(这里j=1)；σj为在j水平的细节系数标准差(这里j=1)；z为95%置信区间下的取值，z=1.96.
因为第一类异常值影响范围较大，所以其周围的数值亦被认为是异常值.通过观察对比研究异常值的影响范围(对比方案为：1)异常值周围5个点；2)异常值周围7个点；3)异常值周围10个点；4)异常值周围13个点)，最终把其范围定为10个点，即一个第一类异常值意味着周围21个点需要被重新估计，这里把需要重新估计的连续的21个点称为“块”.如果两个异常值之间的距离小于13个点，那么这两个“块”要合并为一个“块”，这是因为要保证在“块”的两边各有3个插值节点用来建立拉格朗日5次多项式，用内插法对“块”内的异常值进行重新估计.
当建立拉格朗日5次多项式插值时，有一种情况应特殊对待——边界值，即，当“块”接近车辆轨迹的初始时刻或终点时刻时，“块”的左边或右边没有足够的节点(3个)用来建立拉格朗日多项式.此时有两种情况产生(以接近初始时刻为例)：1) “块”的左边至少有一个节点；2) “块”的左边一个节点都没有.对于第一种情况，左侧缺的节点可以从“块”的右侧取；对于第二种情况，将整个“块”从车辆轨迹中删除.这样做的目的是要保证用内插法对“块”内的异常值进行估计，因为外插法的精度没有内插法高.
3.1.2 第二类异常值的识别和估计
第二类异常的识别比较简单，根据加速度值确定，其加速度范围为[-8 m/s2, 5 m/s2]，即满足车辆的性能和人体所能承受极限值.因为第二类异常值的影响范围小，所以不做扩大化处理，除非两个异常值之间的节点数小于2(保证异常值两边有足够的节点建立拉格朗日3次多项式)，此时，将2个异常值之间的点看作“块”处理.并且不再采用拉格朗日5次多项式进行重新估计，而是采用3次多项式进行估计.
采用不同次数的拉格朗日多项式插值，是计算时间与计算精度相互折中后的平衡结果.插值的精度取决于插值点(待估计点)的个数和拉格朗日多项式的次数.插值点越多，精度越差.拉格朗日多项式次数越高，精度越高，但是计算消耗的时间就越长.因此，对于第一类异常值的估计用5次多项式插值，是为了中和插值点数带来的影响；对于第二类异常值的估计采用3次多项式插值，是为了中和计算时间带来的影响.
另外，在对第二类异常值估计时，对边界值的处理也与第一类异常值的处理有所不同.对于接近车辆轨迹初始时刻或终点时刻的异常值，无论处于哪一种情况，都不会将其从车辆轨迹中删除.因为待估计点个数少，此时内插法与外插法的精度相差不大，所以对于两类异常值的边界值的处理会有所不同.
3.1.3 第一步车辆轨迹重构算法的实施结果
第一步重构后的车辆轨迹与原始车辆轨迹的对比如图 3所示. 图 3(a)为通过求一阶导数得到的速度对比图，图 3(b)为通过求二阶导数得到的速度对比图，图 3(c)为通过傅里叶变换得到的频率光谱数据图.从图中可以看出第一次重构以后的车辆轨迹要比原始数据平缓的多，尤其是图 3(a)的速度对比图.但是在图 3(b)加速度对比图中仍然有4.05%的轨迹数据超出了加速度的界限值.另外从图 3(c)的频率光谱图中可以看出仍然有频率超过2 Hz的值.这些都表明重构后的车辆轨迹数据依然受到异常值之外的干扰，需要进一步对其进行去噪处理.
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图 3 第一步车辆轨迹重构后对比图Figure 3. Comparison of vehicle trajectory reconstruction after step 13.2 消除车辆轨迹中的噪声
第一步车辆轨迹重构后，轨迹数据还受到观测误差和第一步的估计误差的影响.因为观测误差和估计误差是随机误差，所以可以将其假设为白噪声，这样就可以用信号滤波技术对其进行滤波去噪，本文采用卡尔曼滤波去噪.在进行卡尔曼滤波前，需要特别注意和确定几个重要的参数，因为这些参数的轻微变化都将导致卡尔曼滤波效果发生巨变.这些参数为状态初始值$\mathit{\boldsymbol{\hat x}}(0)$、估计误差协方差初始值P(0)、过程噪声协方差Q和观测噪声协方差R.
如果过程噪声协方差Q和观测噪声协方差R是常数(本文将这2个参数看作常数)，则初始值就不太重要，因为过程估计误差协方差P(t)和卡尔曼增益K(t)都会快速收敛并保持为常量.但是过程估计误差协方差P(t)不宜假设为零，那样在很长一段时间内会出现$\mathit{\boldsymbol{\hat x}}(t) = \mathit{\boldsymbol{\hat x}}(0)$的现象.本文假设状态初始值为$\hat{\boldsymbol{x}}(0)=\boldsymbol{Y}(0)$，P(0)=1，其中Y(0)为第一步重构后轨迹的初始值.
关于过程噪声协方差Q和测量噪声协方差R的设定也有一些原则要遵循.研究表明，当过程噪声协方差Q越小时，卡尔曼滤波效果越好.一般地，过程噪声协方差会被设为一个非常小但不为零的常数.但是当信号过滤得越平滑，信号能量(信号平方的和，其公式如(14)[24]所示)损失得就越多，这就意味着信号损失的信息越多.另外观测噪声R的值也很难确定，R值越小，估计误差协方差P(t)和卡尔曼增益K(t)收敛速度越快，但是其波动越大，反之亦然.
$$ \boldsymbol{E}_{\mathrm{ignal}}=\sum|\boldsymbol{x}(t)|^{2} $$ (14) 为了得到最优的过程噪声协方差Q和测量噪声协方差R，本文利用迭代思维建立最优[Q R]模型，其模型公式为
$$ \begin{array}{c}{[\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{R}]=f\left(\boldsymbol{R}_{\text { sigalenergy }}, \text { acceleration }\right)} \\ {\text { s.t. } \min \left(\boldsymbol{R}_{\text { signalenergy }} \geqslant 95 \%\right)} \\ {\text | { acceleration } | \leqslant 5 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}} \\ {\{\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{R}\} \subseteq \boldsymbol{T}} \\ {\boldsymbol{T}=\{0.01, 0.02, 0.03, \cdots, 1\}}\end{array} $$ (15) 式中：Rsinalenergy为信号能力比[25]，且
$$ \boldsymbol{R}_{\text { signalenergy }}=\sum|\boldsymbol{x}(t)|_{\text { filered }}^{2} / \sum|\boldsymbol{x}(t)|_{\text { original }}^{2} \times 100 \% $$ (16) 假设Q、R∈[0 1], 并以0.01步长递增.为了保持原有信号的特性和结构特征，式(15)要保证：1)使观测误差和估计误差的影响尽可能的小；2)过滤后的信号能量比不小于95%.最终通过用Matlab求解得出Q=0.01，R=1，信号能量比为96.97%.
车辆轨迹经过第二步重构后的结果如图 4所示.速度曲线更加平滑，如图 4(a)所示，加速度值和频率值都满足车辆性能和人体承受的极限，如图 4(b) (c)所示.值得注意的是在车辆轨迹的前几秒内，第二步的重构没有第一步重构好，这是因为估计误差协方差P(t)和卡尔曼增益K(t)要有一个收敛的时间.在对微观模型进行标定和验证时，车辆轨迹一般都会掐头去尾，以中间的稳定值作为样本值，所以此缺点可以忽略.
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图 4 第二步车辆轨迹重构后对比图Figure 4. Comparison of vehicle trajectory reconstruction after Step 2表 2列出的是NGSIM原始车辆轨迹数据、第一、二步重构轨迹数据的Jerk分析结果.首先，经过轨迹重构后，Jerk值大于±15 m/s3的百分比由41.49%减少为0%；其次，Jerk的最大、最小值由原来的(3 768.86，-6 547.42)减少为(14.47，-13.61).虽然1 s内Jerk正负号变化超过1次的占比减少了一半以上(由60.86%减为27.36%)，但是27.36%的占比还是比较高的.这是因为两步轨迹重构算法只考虑了车辆轨迹内部一致性，而不能满足车辆组间一致性，这也是本论文下一步的工作要点.
表 2 Jerk分析对比Table 2. Comparison of the Jerk analysisJerk分析 原始NGSIM 第一步 第二步 Jerk>±15 m/s3/% 41.49 22.91 0 最大Jerk/(m·s-3) 3 768.86 218.87 14.47 最小Jerk/(m·s-3) -6 547.42 -124.13 -13.61 1s内Jerk正负号变化次数>1/% 60.86 46.99 27.36 3.3 轨迹重构算法在NGSIM数据库I-80中的应用
将本文建立的车辆轨迹算法应用于NGSIM I-80下午4:00—4:15的车辆轨迹数据库中，对该数据库中1 942辆小汽车的车辆轨迹进行重构，并通过加速度分布图和Jerk分析展示轨迹重构后的效果.
图 5展示的是原始NGSIM车辆轨迹数据和轨迹重构后加速度分布对比图.从中可以看出，在原始NGSIM车辆轨迹中有大约10%的加速度超过±9 m/s2，这显然是超出人体所承受的界限的.但是在重构的轨迹数据中很少有超过±3 m/s2，这表明当用于交通流理论研究和模型标定及验证时，重构后的轨迹比原始轨迹更可靠.
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图 5 原始NGSIM车辆轨迹数据和重构轨迹数据加速度分布Figure 5. Acceleration distribution of raw and reconstructed NGSIM data表 3是原始NGSIM车辆轨迹数据和轨迹重构后Jerk数值的统计结果，即对每个车辆轨迹中Jerk值大于等于±15 m/s3的个数进行数理统计.对于车辆轨迹中Jerk值大于等于±15 m/s3的个数的平均值由原来的226.23减少到1.00，这就意味着平均每辆车的轨迹中只有一个Jerk值超出±15 m/s3.而其标准差为1.43，表明数据稳定良好.
表 3 原始NGSIM车辆轨迹与重构后车辆轨迹的Jerk分析统计结果Table 3. Jerk analysis of raw and reconstructed NGSIM data比较项 指标项 原始NGSIM轨迹 重构后NGSIM轨迹 Jerk≥±15 m/s3(个数) 平均值 226.23 1.00 标准差 114.58 1.43 范围 [43,663] [0, 15] 4. 结论
1) 从速度和加速度曲线图可知，经两步轨迹重构后的NGSIM车辆轨迹更加平缓和稳定.其中加速度值满足车辆性能和人体承受的极限值，都分布在[-5 m/s2, 5 m/s2]区间内.频率光谱图亦能验证重构后的车辆加速度满足人体极限值，频率值小于2 Hz.
2) 由Jerk分析可知，重构后的车辆轨迹中Jerk>±15 m/s3的占比为0，即轨迹平缓、稳定，没有突然变化的值.
3) 原始NGSIM车辆轨迹和重构后的车辆轨迹的信号能量比为96.97%，证明重构后的轨迹保持了原始轨迹的结构特征.
4) 经过对NGSIM I-80数据库中1 942辆小汽车的轨迹进行重构，极少部分(0.007 4%)加速度值超出±5 m/s2范围；且平均每条轨迹中平均只有1个Jerk值超出±15 m/s3.
5) 本文存在以下不足：只对单辆车的轨迹重构，未考虑车组间的关系，即前后车关系；只对车辆的纵向轨迹进行重构，未对横向轨迹进行重构.以上两点是本文未来研究的重点.
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图 3 第一步车辆轨迹重构后对比图
Figure 3. Comparison of vehicle trajectory reconstruction after step 1
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图 4 第二步车辆轨迹重构后对比图
Figure 4. Comparison of vehicle trajectory reconstruction after Step 2
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图 5 原始NGSIM车辆轨迹数据和重构轨迹数据加速度分布
Figure 5. Acceleration distribution of raw and reconstructed NGSIM data
表 1 部分第一类异常值
Table 1 Part of first pattern of outliers
帧序列 126 127 128 129 130 131 132 133 速度/(km·h-1) 14.32 9.88 0.00 0.00 37.69 9.90 0.40 0.00 
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表 2 Jerk分析对比
Table 2 Comparison of the Jerk analysis
Jerk分析 原始NGSIM 第一步 第二步 Jerk>±15 m/s3/% 41.49 22.91 0 最大Jerk/(m·s-3) 3 768.86 218.87 14.47 最小Jerk/(m·s-3) -6 547.42 -124.13 -13.61 1s内Jerk正负号变化次数>1/% 60.86 46.99 27.36
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表 3 原始NGSIM车辆轨迹与重构后车辆轨迹的Jerk分析统计结果
Table 3 Jerk analysis of raw and reconstructed NGSIM data
比较项 指标项 原始NGSIM轨迹 重构后NGSIM轨迹 Jerk≥±15 m/s3(个数) 平均值 226.23 1.00 标准差 114.58 1.43 范围 [43,663] [0, 15]
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