近年来，绿波协调控制技术在改善交通拥堵方面发挥了重要作用.干道绿波协调控制是将干道上的多个交叉口以一定的方式联结起来作为研究对象，同时对各个交叉口进行相互协调的配时方案设计，使得尽可能多的干道行驶车辆可以获得不停顿的通行权.常用的干道绿波协调控制算法有图解法、数解算法、Maxband法和Multiband法.其中，图解法是通过几何作图的方法，确定协调控制系统的公共周期和相位差；Maxband法和Multiband法均是以绿波带宽度最大为目标建立线性规划模型^[1]，当交叉路口个数较多时，模型求解较复杂；数解算法是通过数值计算的方法寻求最小偏移绿信比，从而求解协调控制配时参数，具有计算简捷、容易实现、实用性强的优点，尤其是对于干道进口直行方向采用对称放行方式的干道交叉口群.

最早Little等^[2]以最大绿波带宽为优化目标，建立了混合整数线性规划模型；Gartner等^[3]在Maxband法的基础上，提出了复合带宽Multiband控制模型；卢凯等^[4]对数解算法中的绿波带宽度、最佳理想交叉口间距和相位差等参数的计算方法进行了改进，使得绿波带宽度计算更加合理；王殿海等^[5]对传统数解算法进行改进，改进后的数解算法能够更加准确地计算绿波带宽度和各交叉口信号的相位差；唐克双等^[6]建立了一种改进的Multiband模型，提出非对称式绿波的概念，允许不同路段上的绿波有一定的灵活性，提高了绿波的稳定性；卢顺达等^[7]对经典图解法进行优化，增加了绿波带宽度，使其适用于非对称相位相序方式；刘小明等^[8]建立了以绿波带宽度内连续通行车辆数最多为目标的协调控制模型，绿波带宽度不一定最大；梁杰等^[9]针对公共周期限制的问题，提出了对不同周期时长的交叉口实行大周期协调控制的思路；曲大义等^[10]建立了基于交通波理论的交叉口相位差模型，从交通流内在机理上优化了协调控制相位差；李永强等^[11]提出数据驱动交通响应绿波协调的方法，实时评价和更新协调控制方案.

上述研究的方法主要适用于主干道所有交叉口流量均远大于次干道流量的情形，而未深入考虑对于满足干道协调条件而又存在瓶颈交叉口制约绿波带宽度的情况.因此，本文提出了一种考虑干道瓶颈交叉口的绿波协调控制方法.

1.   问题描述

通过数解算法求解的算例：假设某东西方向干道上有I₁、I₂、I₃、I₄、I₅共5个交叉口，相邻交叉口间距依次为350、400、260、540 m，各交叉口主干道方向的绿信比分别为0.55、0.60、0.38、0.60、0.60，初始公共信号周期时长为80 s，绿波带速度为40 km/h.

第1步：设定理想交叉口间距s_i的取值范围为$\left[ {\frac{{80 \times 11}}{2} - 100, \frac{{80 \times 11}}{2} + 100} \right]\;{\rm{m}}$，变化步长为10 m.

第2步：针对每个理想交叉口间距取值，计算其相邻挪移量之差最大值s_nm，构成s_nm集合{140, 160, 180, 200, 220, 120, 140, 130, 120, 110, 100, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 210, 140, 130, 140} m，依据s_nm最大原则确定最佳理想交叉口间距s_iop=380 m.

第3步：确定最佳公共信号周期${C_{{\rm{op}}}} = \frac{{2{s_{{\rm{iop}}}}}}{v} \approx 69\;{\rm{s}}$，若保持绿波带速度v=40 km/h，则公共周期需要调整为69 s.

第4步：计算理想信号位置与实际信号位置的相对距离(如图 1所示)，可求出相应的损失绿信比.

图  1  理想与实际信号点位置的相对距离(单位：m)

Figure  1.  Relative distance between the expected and the actual signal point position (unit: m)

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第5步：计算绝对相位差和绿波带宽度，如表 1所示.

表  1  绿波带宽度计算

Table  1.  Green band width calculation

交叉口序号	I1	I2	I3	I4	I5
理想信号位置编号	①	②	③	④	⑤
实际交叉口位置	右	右	右	左	右
绿信比	0.55	0.60	0.38	0.60	0.60
损失绿信比	0.13	0.05	0.10	0.21	0.21
有效绿信比	0.42	0.55	0.28	0.39	0.39
相位差/%	72.5	20.0	80.0	17.5	70.0
绿波带宽度/%	100×(0.28+0.39)/2=33.5

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由表 1可知，双向绿波带宽度为33.5%，I₃的有效绿信比远小于其他几个交叉口，严重制约了绿波带的宽度.因此，干道协调控制的瓶颈交叉口为I₃.

瓶颈交叉口制约绿波带宽度的原因为干道方向的直行车流量与次干道方向的直行车流量接近，两者分配的绿信比大小相近，而信号周期等于公共信号周期，故干道直行相位绿信比相对较小.

2.   干道协调控制模型

2.1   基本假设

为便于研究，提出以下基本假设：

1) 如无特别说明，文中绿信比指的是干道方向直行相位的绿信比.

2) 进口车流分左转、直行和右转3股，左转和右转车流量不大.

3) 每个信号相位的损失时间(启动损失时间与清空损失时间之和)固定且相等.

4) 行人与非机动车跟随交通信号通行，忽略行人与非机动车辆的干扰.

2.2   协调控制模型

瓶颈交叉口在干道直行方向绿信比较小，制约了绿波带宽度，现将瓶颈交叉口等效为直行道路，参与协调解算，增大绿波带宽度；然后对瓶颈交叉口进行动态控制，使得协调车流能够不停顿地通过瓶颈交叉口，优化协调效果.

等效后的干道各交叉口均采用对称放行方式，相位采用四相位集合(如图 2所示)，右转车流在任何时候均不与其他车流冲突，故不考虑右转车流.

图  2  对称相位集合

Figure  2.  Symmetric phase group

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2.2.1   干道瓶颈交叉口判别

本文提出考虑瓶颈交叉口的干道绿波协调控制模型，首先需要对干道瓶颈交叉口进行判别.

式中：λ_j为第j个交叉口的绿信比；λ_j^b为第j个交叉口支路直行相位绿信比；ξ为差值系数.

将制约干道绿波带宽度的交叉口均视作瓶颈交叉口，具体判别步骤如下：

步骤1  利用经典数解算法求解协调控制的参数值，如表 1所示.

步骤2  设定ξ=0.1，根据式(1)判断第j个交叉口是否是瓶颈交叉口.

步骤3  去除第j个交叉口，多次判断剩余交叉口是否有瓶颈交叉口.

步骤4  得到瓶颈交叉口集合I_b，若I_b=$\emptyset $，则所选干道不适合本文协调控制模型.

2.2.2   协调控制参数计算

模型将第j个交叉口I_j作为瓶颈交叉口，如图 3所示，以绿波带宽度最大化为目标，将瓶颈交叉口等效为直行道路，如图 4所示.等效条件为L_j－1+L_j < L_ξ，其中：L_j－1为交叉口I_j－1到I_j的距离；L_j为交叉口I_j到I_j+1的距离；L_ξ为干道绿波协调允许的最大交叉口间距.

图  3  干道交叉口示意图

Figure  3.  Sketch map of intersection of the arterial road

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图  4  等效后的干道示意图

Figure  4.  Sketch map of arterial road diagram after equivalent

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1) 公共信号周期

利用Webster公式计算交叉口的周期，干道初始公共信号周期求解方法为

式中：C^j为第j个交叉口信号周期；L为每个周期总的损失时间；Y_j为第j个交叉口每个相位关键流量比之和；C_min^j、C_max^j分别为第j个交叉口最小信号周期和最大信号周期；C_min^c、C_max^c分别为干道最小公共信号周期和最大公共信号周期；C_in为初始公共信号周期.

假设干道上有n个交叉口，则第j个交叉口的信号周期变化范围为[C_min^j, C_max^j]，公共信号周期允许变化范围为[C_min^c, C_max^c]，则初始公共信号周期为C_in.

利用数解法求得最佳理想交叉口间距s_iop，设v_gw为绿波带速度，则最佳公共信号周期C_op为

2) 绿波带宽度

如图 5所示，Δs_j－1为交叉口I_j－1距离最近理想交叉口的偏移距离，Δs_j+1为交叉口I_j+1距离最近理想交叉口的偏移距离，则交叉口的有效绿信比为

图  5  理想与实际交叉口的偏移距离

Figure  5.  Offset distance between the expected and the actual intersections

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式中：λ_j－1、λ_j+1分别为第j－1、j+1个交叉口的绿信比；λ_v^j－1、λ_v^j+1分别为第j－1、j+1个交叉口的有效绿信比.

若从左侧靠近理想位置的交叉口集合为{I_L^a, I_L^b, …}，则对应的有效绿信比为{λ_Lv^a, λ_Lv^b, …}；从右侧靠近理想位置的交叉口集合为{I_R^m, I_Rⁿ, …}，则对应的有效绿信比为{λ_Rv^m, λ_Rvⁿ, …}.

假设

则有

式中：a, b, m, n⊆{1, 2, …, n}；λ_gw为绿波带宽度；t_gw为绿波带时间.

3) 相位差

相位差分为绝对相位差和相对相位差，其中绝对相位差是指各个交叉口主干道协调方向的信号灯的起点或终点相对于某一个交叉口(一般为关键交叉口)主干道协调方向的信号灯的起点或终点的时间之差.相对相位差是指相邻交叉口主干道协调方向信号灯的起点或终点之间的时间之差.

依据各实际交叉口在最靠近的理想交叉口的位置，确定采用同步协调或者异步协调控制方式.本文奇数理想信号点相应的实际位置交叉口为同步式协调，绝对相位差为(100－0.5λ_i)%；偶数理想信号点相应的实际位置交叉口为交互式协调，绝对相位差为(50－0.5λ_i)%.

如图 4所示，将瓶颈交叉口等效为直行道路后，交叉口I_j－1和I_j+1的相对相位差为

2.3   瓶颈交叉口协调响应

2.3.1   瓶颈交叉口通行能力

以通行能力最大化为目标，确定次干道方向的绿信比分配.采用停车线法计算信号控制交叉口的通行能力^[12]，该方法以前后两车接连通过停车线的平均间隔时间为基础，分别就左转、直行和右转车道通行能力给出计算模型

式中：C为信号周期；N_L、N_T、N_R分别为专用左转车道、直行车道和右转车道的通行能力；t_gL、t_gT分别为一个周期内左转和直行的绿灯时间；v_L、v_T分别为左转和直行车辆的平均行驶速度；a_L、a_T分别为左转和直行车辆的加速度；t_L、t_T、t_R分别为左转、直行和右转车辆通过停车线的车头时距.

对于瓶颈交叉口，东西方向采用单独放行方式，东西直行和左转时间均等于绿波带时间，南北方向采用对称放行方式.因此，瓶颈交叉口的通行能力取决于南北直行和左转相位的通行能力.

令

假设

式中：N_b为瓶颈交叉口的通行能力；N_L、N_T分别为南北左转和直行相位的通行能力；t_gL、t_gt分别为南北左转和直行的绿灯时间；C_b为瓶颈交叉口的信号周期；L_b为一个周期的损失时间.

为了确保绿波到达瓶颈交叉口时畅通无阻，则绿波带宽度时间不大于瓶颈交叉口干道协调方向(东西方向)直行的绿灯时间；再者，瓶颈交叉口要与其他干道交叉口协调并达到通行能力最大的目标，则其周期与公共周期成倍数关系.因此，约束条件为

由于C_b、L_b、v_L、v_T、t_T均为常量，因此，通行能力N_b与南北直行相位的绿灯时间t_gT正相关，故当t_gT=t_gw时，瓶颈交叉口的通行能力最大.

2.3.2   排队检测与清空时间

1) 排队检测

如图 6所示，排队车辆检测方法为：在道路进口的某个位置和出口的位置各安装一个车辆感应器，计数变量分别记为q_in和q_out，当行驶车辆通过感应器时，相应计数变量加1，因此，在某一段时间内，排队车辆数为q_in－q_out.

图  6  瓶颈交叉口示意图

Figure  6.  Bottleneck intersection diagram

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2) 排队清空时间

在每个周期绿波到来前读取瓶颈交叉口东西直行车道的排队车辆(如图 6所示)，这部分车辆来自上游交叉口I_j－1北进左转车流q_{j－1, NL}和南进右转车流q_{j－1, SR}，以及下游交叉口I_j+1北进右转车流q_{j+1, NR}和南进左转车流q_{j+1, SL}，假设在一个周期内排队长度分别为l_{j－1, j}和l_{j, j+1}，排队车辆平均车头距离为Δl，在一个周期内瓶颈交叉口西进和东进道路排队车辆数分别为N_{j－1, j}和N_{j, j+1}，则

当瓶颈交叉口东西方向红灯时，上下游交叉口相应车流陆续到达交叉口，形成从前车向后车传递的停车波而产生排队；当东西方向绿灯时，排队车辆形成起动波使车辆开始消散.

在干道协调控制中，本文瓶颈交叉口等效为直行道路的条件就是能够随时响应绿波信号，保证绿波带宽度足够大和绿波带不间断.因此，为了提高有效绿波带宽度，采用预先清空排队车辆的方法，即当上下游交叉口协调车流到达时能够不停顿地通过瓶颈交叉口，无需减速或排队.

基于交通流理论，从起动波传播的运动学特性分析，建立基于运动学方程的起动波模型^[13-15]，得到起动波的波速为

式中：u_w为起动波的波速；u为车辆平均行驶速度；h为车头时距；k_j为车流阻塞密度.

排队消散时间如下：

式中：t_w^{j－1, j}为交叉口I_j－1到I_j路段的排队车辆消散时间；t_w^{j, j+1}为交叉口I_j到I_j+1路段的排队车辆消散时间.

2.3.3   瓶颈交叉口动态控制

瓶颈交叉口相序和相位时间不固定，因此，为了使干道直行车流在到达瓶颈交叉口时就能不停顿地立即通行，并且获得至少与有效绿波带时间相等的通行时间，对瓶颈交叉口进行动态控制，从而响应绿波协调.干道其他交叉口均采用对称放行方式，干道车流到达瓶颈交叉口的时间不同，因此，瓶颈交叉口采用单独放行方式，依据瓶颈交叉口与上下游交叉口的距离关系，确定瓶颈交叉口的控制策略.

式中：t_{j－1, j}为交叉口I_j－1到I_j的车辆行驶时间；t_{j, j+1}为交叉口I_j到I_j+1的车辆行驶时间；t_j－1、t_j+1分别为交叉口I_j－1和I_j+1的东西直行绿灯开启时刻；Δt_j为瓶颈交叉口东直行绿灯和西直行绿灯开启的时刻差.

如图 7所示，依据上游车辆到达瓶颈交叉口的时间和下游车辆到达时间的差值确定瓶颈交叉口的相位时间和相序，分为以下2种情况讨论.

图  7  绿波时距

Figure  7.  Green wave time-space

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1) 当0 < Δt_j < t_gw时

如图 8所示，对于瓶颈交叉口，由于上下游车流到达瓶颈交叉口的时间不同，故东西方向为单独放行方式，南北方向为对称放行方式.依据到达时间差，采用搭接相位，相位集合如图 9所示.

图  8  0 < Δt_j < t_gw时绿波时距

Figure  8.  Green wave time-space when 0 < Δt_j < t_gw

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图  9  0 < Δt_j < t_gw时瓶颈交叉口相位集合

Figure  9.  Bottleneck intersection phase group when 0 < Δt_j < t_gw

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相位时间满足

式中:t_gi¹为瓶颈交叉口第i相位的绿灯时间；t_y¹为一个周期内的黄灯时间.

2) 当t_gw≤Δt_j < C_op时

如图 10所示，东西方向为单独放行方式，南北方向为对称放行方式.相位集合如图 11所示.

图  10  t_gw≤Δt_j < C_op时绿波时距

Figure  10.  Green wave time-space when t_gw≤Δt_j < C_op

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图  11  t_gw≤Δt_j < C_op时瓶颈交叉口相位集合

Figure  11.  Bottleneck intersection phase group when t_gw≤Δt_j < C_op

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相位时间满足

式中:t_gi²为瓶颈交叉口第i相位的绿灯时间; t_y²为一个周期内的黄灯时间.

3.   算例仿真

3.1   算例分析

根据上述算例解算可判断，I₃为干道瓶颈交叉口.因此，将I₃等效为直行道路，则干道交叉口为I₁、I₂、I₄、I₅，相邻交叉口间距依次为350、660、540 m，各交叉口均采用对称放行方式，信号周期范围分别为[76, 95]、[80, 100]、[77, 88]、[72, 90]，东西直行方向的绿信比分别为0.55、0.60、0.60、0.60，绿波带速度为40 km/h.

1) 确定初始公共信号周期范围为[80, 88]，因此可得到初始公共信号周期为84 s.

2) 利用数解算法，求得最佳理想交叉口间距s_iop=510 m.

3) 计算最佳公共信号周期C_op=92 s.

4) 理想交叉口与实际交叉口的偏移距离如图 12所示，可通过计算有效绿信比求解绿波带宽度，结果见表 3所示.

图  12  算例中的理想与实际交叉口位置的偏移距离(单位：m)

Figure  12.  Offset distance between the expected and the actual intersections in the case (unit: m)

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表  3  交叉口绿信比

Table  3.  Green ratio of each intersection

交叉口	绿信比/%
	东西左转	东西直行	南北左转	南北直行
I1	0.10	0.55	0.10	0.25
I2	0.10	0.60	0.10	0.20
I3	0.12	0.38	0.12	0.38
I4	0.10	0.60	0.10	0.20
I5	0.12	0.60	0.10	0.18

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由表 2可知，利用协调控制模型求解的绿波带宽度为41.5%，相比在瓶颈交叉口制约情况下(见表 1)的绿波带宽度增加8.0%.

表  2  协调解算

Table  2.  Coordination solution

交叉口序号	I1	I2	I4	I5
理想信号位置编号	①	②	③	④
实际交叉口位置	右	左	右	右
绿信比	0.55	0.60	0.60	0.60
损失绿信比	0.14	0.18	0.12	0.18
有效绿信比	0.41	0.42	0.48	0.42
相位差/%	72.5	20.0	67.5	20.0
绿波带宽度/%	100×(0.41+0.42)/2=41.5

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3.2   数据说明

图 13所示为东西方向的干道，从左往右分别为交叉口I₁、I₂、I₃、I₄、I₅，相邻交叉口间距依次为350、400、260、540 m，各个交叉口均为双向三车道，车道宽为3.5 m，绿信比配置如表 3所示；依据周期和绿信比配置，各个交叉口流量数据如表 4所示.

图  13  仿真路网

Figure  13.  Road map of simulation

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表  4  交叉口仿真流量

Table  4.  Traffic flow of simulated intersections

veh·h-1
交叉口	西进口				东进口				南进口				北进口
	左转	直行	右转		左转	直行	右转		左转	直行	右转		左转	直行	右转
I1	100	660	100		100	650	100		100	277	182		100	240	100
I2	100	742	100		80	700	45		100	205	100		100	220	80
I3	155	495	292		155	495	220		150	495	150		155	495	180
I4	80	693	27		108	690	72		100	230	50		108	231	80
I5	100	673	78		126	665	100		105	195	100		105	202	100
饱和流量	1 550	1 650	1 550		1 550	1 650	1 550		1 550	1 650	1 550		1 550	1 650	1 550

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3.3   仿真结果

在相同条件下，分别利用经典数解算法与本文算法求解，从而得到协调控制系统，并将其在交通仿真软件Vissim4.3中进行仿真.其中本文算法仿真采用VS C#2010调用Vissim提供的COM接口实现.采集车辆在干道的平均旅行时间，间隔为3.6 ks，仿真时间为6 h，即21 600个仿真步长.

由表 5可知，本文方法与数解法相比，干道车辆旅行时间更短，总的车辆平均旅行时间减少8.9%，瓶颈交叉口通行能力提高5.1%，有效提高了干道的通行效率.

表  5  2种算法的车辆平均旅行时间与瓶颈交叉口通行能力

Table  5.  Average travel time of the two methods and the traffic capacity of bottlenecks

时间/ks	上行方向平均旅行时间/s			下行方向平均旅行时间/s			瓶颈交叉口通行能力/pcu
	数解算法	本文算法		数解算法	本文算法		数解算法	本文算法
3.6	226.6	204.6		224.6	200.2		2 529	2 655
7.2	225.5	207.8		221.7	202.8		2 552	2 684
10.8	225.2	206.3		224.1	203.6		2 558	2 643
14.4	226.8	208.9		224.6	197.1		2 560	2 714
18.0	223.8	209.6		226.9	204.9		2 534	2 687
21.6	223.1	207.0		226.9	206.7		2 597	2 724
平均值	225.2	207.4		224.8	202.5		2 555	2 685

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4.   结论

1) 通过研究干道绿波经典数解算法，建立了在干道存在瓶颈交叉口情况下的协调控制模型，有效减小了瓶颈交叉口的制约，增大了绿波带宽度，对整个干道的宏观协调控制效果有较大的提高.

2) 针对瓶颈交叉口建立动态的控制模型，其中，利用基于交通流理论的车辆启动波运动学模型计算排队车辆的消散时间，进而计算相位偏移时间，使得上下游协调车流到达瓶颈交叉口时无须排队且不停顿地匀速通行，增加了绿波带的有效通行时间.