Topology Optimization of Microstructure and Selective Laser Melting Manufacture for Porous Scaffolds
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摘要:
针对传统制造多孔结构具有的盲目性和不确定性以及如何将多孔结构有效的设计理念应用于实际制造的问题,提出了一种设计及制造具有多孔支架结构的方法. 该方法通过设计单元结构,使其组成的多孔结构能在降低弹性模量的基础上保证结构的力学性能. 首先,应用Optistruct软件对单元结构进行拓扑优化,提取优化的单元结构;然后,在Magics里将单元模型修复、阵列得到多孔支架,用选区激光熔融技术制造多孔支架;最后,对多孔结构的力学性能进行了测试. 实验结果表明:多孔支架的弹性模量与抗压强度值均在骨骼的要求范围内.
Abstract:To solve the problem that traditional manufacturing has blindness and uncertainty of the porous structure, and a design concept of effective porous material was applied to the actual manufacturing. A design and manufacture porous scaffolds structure method was proposed. The porous structure mechanic property was guaranteed on the basis of lower elastic modulus through design unit cell. Unit structure topology optimization and extraction were made by the software of Optistruct. Scaffolds were obtained by repairing and arraying the software of Magnics. The porous scaffolds were fabricated by selective laser melting. At last, the compression test was done. A series of experiments indicate that elastic modulus and compressive strength values of porous scaffolds are in the requirements scope of the bones.
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Keywords:
- topology optimization /
- porous scaffolds /
- selective laser melting /
- elastic modulus
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骨骼缺损是妨碍人体健康、影响人们幸福感的一大元凶. 随着全球人口老龄化进程加速、人类寿命不断延长、交通事故频发以及运动创伤的增多等,都会导致骨骼的缺损,对于承重部位的骨缺损,通常需要力学性能较高的金属植入体. 但受传统的制造工艺的影响,实心金属植入体有明显的不足,比如:1) 实心金属植入体质量大,植入体内给病人造成很大的不便;2) 实心金属植入体刚度大,弹性模量与骨骼的弹性模量不匹配,易引起应力遮挡效应 [ 1] ,负载自动落入刚度较大的植入体上,骨组织得不到力学的刺激而发生骨质疏松等症状,力学性能变差;3) 实心金属植入体与骨骼之间结合不牢固. 为了克服实心金属植入体的缺点,可以把金属植入体的表面或者整体设计成多孔结构,并对不同的部位结构进行参数化定制.
植入体的设计应该满足刚度和孔隙率的需求. 然而,刚度随着孔隙率的增加而减小,因此,传统的设计方法不能满足植入体的多重设计要求. 拓扑优化是结构优化的一种,目的是寻找结构在受到单一载荷或者多个载荷的作用下的最佳的材料分配方案 [ 2] ,因此,利用拓扑优化可以获得在给定约束下所需的性能. 该方法可以实现在孔隙率约束下结构的机械性能最优化. 本文通过拓扑优化得到单元结构,并将其阵列得到周期性连续体结构,从而满足植入体性能的需求. Lin等 [ 3] 通过拓扑优化的方法,设计所需要的孔隙率和弹性模量的支架结构;Dias 等 [ 4] 将拓扑优化算法作为一种优化技术来设计骨组织工程支架以满足物质运输和机械承载要求,并对所制备的支架的实际特征和设计值进行了测量和比较,结果表明这种方法具有制造骨组织工程支架的潜力.
多孔结构的制备方法与材料种类、孔径大小以及孔隙的连通性等密切相关. 用传统方法制造有序多孔结构的技术主要有熔模铸造法 [ 5- 6] 、挤压法 [ 7] 、切槽法 [ 8] 、网格冲压-钎焊法 [ 9] 等. 但是传统的工艺无法制造内孔以及微小复杂的孔洞结构. 20世纪90年代发展起来的快速成型技术可以解决这个问题. 选区激光熔融(selective laser melting technology, SLM)技术是快速成型技术中的一种. 本文将拓扑优化技术与选区激光熔融技术相结合,应用于多孔植入体的制备. 首先介绍了拓扑优化的概念及算法,然后通过拓扑优化提取了单元结构,建立多孔支架模型,相对于传统的多孔结构的设计方法,该方法可以在孔隙率和力学性质同时限定下,在设计域中寻求一个最佳的材料分布,从而满足植入体的设计要求. 最后通过选区激光熔融技术制备拓扑优化的孔隙结构,并进行压缩实验,对拓扑优化的支架结构力学性能进行测试与分析.
1 拓扑优化的理论基础
1.1 拓扑优化的概念
拓扑优化是一种数学方法,能在给定的空间中生成最优的形状及材料分布 [ 10] . 插值是构造一个在有限点能够满足条件的连续函数. 拓扑描述方式和材料插值模型是拓扑优化的2个要素,也是优化的基础. 均匀化法和变密度法是最具代表性的材料插值模型. 均匀化法在拓扑优化理论研究方面应用较广泛,求解过程比较复杂,微单元的最佳形状和方向难以确定,并且结果容易产生数值不稳定现象,导致棋盘现象出现,结构的制造性减弱. 密度材料插值模型在工程应用中得到了广泛重视和研究,也是实际工程中最有应用前景的一种拓扑结构描述方法 [ 11] .
目前,拓扑优化过程可以在软件中实现,如ANSYS、Altair HyperWork系列软件中的Optistruct、Tosca等. 其中ANSYS拓扑优化采用均匀化方法,本文应用Optistruct软件进行拓扑优化,该软件采用密度法,以体积分数为约束函数,结构的最大刚度为目标函数. Optistruct密度法是将有限元模型设计域中的单元密度作为设计变量,在0~1取值. 优化后单元密度越靠近1,表示该处的材料越重要,需要保留;越靠近0,则该处的材料越不重要,可以去除,以提高材料利用率,实现结构的轻量化设计.
1.2 基于SIMP连续变量材料插值模型
密度法中典型的材料插值模型是:各向正交惩罚材料插值模型(solid isotropic material with penalization,SIMP). 该模型引入惩罚因子对中间密度值进行处理,使密度值向0或1靠近,因此,连续变量的拓扑优化模型可以更好地逼近离散变量的优化模型. 但不能把设计域中的点作为设计变量,需把设计域离散成微单元,把每个微单元作为设计变量. 由于缺少大规模离散变量的优化算法,离散变量的拓扑优化经常失败 [ 12] . 因此,采取连续变量代替离散变量,并引入惩罚因子,防止中间密度结构的产生给制造带来困难. 在SIMP法中,引入连续变量 x i 和惩罚因子 P,令0≤ x i ≤1, P>1,可以获得SIMP模型
式中: x i 为单元设计变量(即相对密度); E i 为单元设计变量 x i 对应的单元弹性模量; E 0为材料的原始弹性模量; Ω为设计域; V 0为设计域 Ω所占体积(相对密度为1); P的值与材料的泊松比有关.
密度的插值在材料特性之间进行,即
E( x i= 0)=0, E( x i= 1) =E 0
1.3 最大刚度拓扑优化问题的优化准则算法
本文主要求单元结构的最大刚度(即结构的最小柔度),在 SIMP材料差值方法的基础上可以建立如下优化模型:
式中: x为设计变量; x max、 x min分别为单元设计变量上限和下限; C( x)为单元的柔度; F为载荷矩阵; U为位移矩阵; K为整体刚度矩阵; u i 为单元位移矩阵; k 0为单元刚度矩阵; V为结构有效体积; V 0为设计域的体积; f为材料用量的百分比.
在求解的过程中,通过引入拉格朗日乘子构造拉格朗日函数,将有约束问题转化成无约束极值问题,并且有收敛速度快、迭代次数少等优点. 目标函数与约束条件构成的拉格朗日函数为
式中: λ 1为体积约束的拉格朗日乘子; λ 2为平衡约束的拉格朗日乘子; λ 3和 λ 4为设计变量上、下限约束拉格朗日乘子. 通过体积约束求得 λ 1,通过代入法求解可以得到基于准则优化的迭代公式 [ 13] . 迭代公式为
式中 η为阻尼系数, η的引入是为了保证计算的收敛性和稳定性.
1.4 基于SIMP理论的优化准则迭代分析流程
在SIMP材料插值模式基础上,基于优化准则法的结构拓扑优化求解过程 [ 14] 如下:
1) 定义设计域和非设计域,确定设计约束、载荷等边界条件. 其中设计域内的单元相对密度可随迭代过程变化,为0~1的值,非设计域内的单元相对密度不变,为定值0 或 1.
2) 将设计域中的结构进行网格划分,离散为有限元网格,计算优化前的单元刚度矩阵.
3) 初始化单元设计变量,即为设计域内的每个单元给定一个初始单元相对密度.
4) 计算各离散单元的材料特征参数和单元刚度矩阵,获得结构总刚度矩阵,求解单元位移.
5) 计算总体结构的柔度值及其灵敏度值,求解拉格朗日乘子.
6) 用优化准则方法进行设计变量更新.
7) 检查结果的收敛性,如未收敛则转4)循环迭代,如收敛则计算结束,输出目标函数值及设计变量值.
2 单元结构的拓扑优化与分析
2.1 边界条件与优化结果
单元结构模型的设计域为棱长为3mm的正方体,底面固定,其余5个面中心受到200N的力,如 图1所示. 在体积分数为30%的约束下,实现单元结构的柔度最小(即刚度最大). 材料选用钛合金(Ti6Al4V),弹性模量为110GPa,泊松比为0.33,密度为4.4g/cm 3.
设定好拓扑优化的控制过程并求解. 优化后的密度分布云图如 图2(a)所示,为了更直观地观察云图内部应力情况,对云图密度进行过滤处理,密度大于0.9的部分如 图2(b)所示.
通过密度过滤处理,绘制出密度阈值与体积分数的关系曲线(以横坐标0.3为例:纵坐标体积分数对应的值为设计域中密度≥0.3部分的体积与设计域的总体的体积之比)如 图3所示.
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图 3 体积分数-密度阈值关系散点图Figure 3. Scatter plot of the relationship between volume fraction and density threshold由散点图的分布可知,密度小于0.1的体积分数约为60%,密度大于0.9的体积分数约为20%. 即密度大于0.9和密度小于0.1的体积占总体设计域体积的80%. 拓扑优化结果表明设计域的密度值向0、1两端靠拢.
由拓扑优化结果分析可知:经过8次迭代后结构发生收敛,单元结构的最小柔度值为15.4,比原来减小了90.8%,设计域的质量由原来的118.8mg减小到35.64mg. 经过拓扑优化分析减轻了单元结构的质量,增加了结构的刚度. 目标函数随迭代次数的变化曲线如 图4所示.
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图 4 目标函数随迭代次数的变化曲线Figure 4. Objective function curve along with the change of the number of iterations2.2 模型重建
通过Optistruct软件的Post模块,对体积分数分别为10%、20%、30%、40%的单元模型进行光滑处理,使表面平滑,并导出STL格式的文件. 导出的单元用Magics软件打开,对STL格式文件的三角面片进行修复和简化,并将单元模型进行5×5×5阵列,得到多孔支架模型(把体积分数为40%、30%、20%、10%的模型分别编号为a、b、c、d). 该模型文件为SLM制备提供数据文件,如 图5所示.
3 多孔支架结构的制备
3.1 选区激光熔融系统
本次实验使用的快速成型设备是德国的EOS公司的EOSINT M280成型设备,该成型系统用来制备金属零件,通过激光与金属粉末作用,直接烧结成型. 图6为选区激光熔融成型系统,主要包括激光光源、供粉缸、成型缸、回收缸、铺粉机构、光路系统以及计算机控制系统等. 有效的成型尺寸为250mm×250mm×325mm,配备功率为400W的光纤激光器,光斑直径为0.1mm,最快的扫描速度可达7m/s. 该系统配备自动水冷却循环系统和粉末过滤系统,可成型曲面、狭缝、冷却管道等复杂几何形状的零部件,致密度可达98%以上. 整个成型工艺过程在计算机系统控制下进行.
多孔支架的制造包括如下步骤:1) 将金属粉末材料填充到成型系统的送粉缸里;2) 将数据文件导入到成型设备连接的计算机上,根据三维图形的结构与体积设定模型的打印位置与角度,调用相应材料的加工工艺参数,规划扫描路径;3) 成型设备的铺粉系统向成型缸基板上表面铺金属末;4) 成型设备中的高能激光束按照生成的扫描路径扫描铺设好的粉末,受所述高能激光束扫描后的金属粉末材料熔化后固结于所述的基板上;5) 成型缸平台下降一层粉末厚度,然后送粉缸上升一层粉末厚度,铺粉刮刀在已经烧结了一层图形的基板上表面铺下一层金属粉末;6) 依次重复步骤4)至步骤5),直至整个多孔零件三维模型整体烧结完成.
3.2 多孔支架结构的制备实验
实验采用钛合金粉末(Ti6Al4V),该粉末为EOS公司提供的,具有良好的球形度. 钛合金具有良好的力学性能、抗腐蚀性能和生物相容性,并且密度较小,广泛应用在航空航天、汽车以及外科植入体等领域 [ 15] .
利用M280激光选区熔化快速成型机对多孔支架结构进行快速成型. 成型过程在氩气保护下完成,成型工艺参数为:扫描速度1.2m/s,激光功率280W,层厚35μm.
在快速成型之后,需要用线切割,将成型件取下,以保证底面的平面度. 然后进行吹气、超声清洗、喷砂等后处理工序,除去孔隙内的金属粉末以及黏附在支架结构表面的没有熔融的金属颗粒. 成型件从左到右依次为a、b、c、d,如 图7所示.
3.3 分析方法
根据ISO 13314标准,采用德国Zwick/Roell公司设备Z 100万能材料试验机,沿零件高度方向进行纵向压缩试验,压头直径为30mm,最大能施加的压力为10kN,加载速率为1.8mm/min, 并由计算机自动记录载荷-位移信息,通过处理得到应力-应变曲线,如 图8所示. 应力-应变曲线相关数据经过平均后,分析得到抗压强度. 弹性模量的计算需选取弹性范围内纵向力与其对应的纵向变形的一组数据对,用最小二乘法将数据对拟合为纵向应力-应变直线 [ 16] ,拟合直线的斜率即为弹性模量,使用上述方法依次拟合得到弹性模量. 压缩测试结果如 表1所示.
表 1 压缩测试结果Table 1. Results of the static compression tests序号 弹性模量/GPa 抗压强度/MPa a 11.80 323 b 8.41 184 c 1.71 34 d 0.30 4 3.4 压缩试验结果分析
根据压缩后试件形貌分析,a、b试件破坏方式相同. 由压缩曲线 图8看出,a、b两条曲线形状相似,都分为3个阶段:第1阶段为弹性形变,满足胡克定律,多孔结构的等效弹性模量即为此段曲线中间段的斜率值. 第2阶段为晶体滑移引起的塑性变形,这一阶段因为试件的体积分数不同,抗变形能力也不同. 体积分数大,抗变形能力强. 第3阶段为破坏阶段,发生时间极短,变形量不变,应力骤减. 这个阶段试件已经完全失效,在试件的层与层连接处,沿着与压轴45°方向发生脆性断裂,如 图9所示. 导致多孔结构发生失效变形的是最大剪切应力,剪切应力 T=( δ/2)sin 2 α,其中: δ为许用应力; α为横截面外法线与斜截面法线的夹角, α=45°时 T取最大值,复合Tresca屈服准则. c试件同样经历3个阶段,前2个阶段与试件a、b相同,不同的是第3个阶段不是突然断裂,而是应力随着应变的增大缓慢减小,当应力减小到峰值应力的50%以上,认为该试件失效. 宏观表现为部分单元结构的破坏,如 图9所示. 试件d经历了4个阶段,试件d的破坏形式与c基本相同,在失效后继续加载,经历了第4个阶段,多孔结构内部破坏,在内部形成错位支撑,使得应力随应变的增加而增加,然后重复3、4阶段.
试件a、b与试件c、d破坏形式不同的主要原因是试件a、b单元结构的体积分数相对较大,单元内部是实心的,失效发生区域是单元层与单元层连接的部位(共阵列5层,在第1层与第2层连接处发生了破坏). 而试件c、d单元体积分数相对较小,内部是空心的,在单元与单元连接部分尚没发生破坏时,部分单元体已经发生破坏.
4 结论
1) 本文将设计与制造理念结合在一起,解决了传统制备多孔材料性能的盲目性和不确定性等问题,结合拓扑优化的设计理念制造出可控的多孔结构.
2) 本文基于密度法,建立多孔结构单元拓扑优化模型,以达到最大刚度力学特性为目标. 在体积分数的约束下,进行拓扑优化设计,得到了具有固定体积分数下的最大刚度的微孔结构,为多孔材料的设计提供了有效的手段.
3) 使用Magics软件,对STL格式文件单元模型进行修复、阵列,添加实体支撑,最后切片分层将三维模型格式转化成二维层片格式,为SLM制备提供数据文件.
4) 通过压缩测试得到了孔隙率分别为60%、70%、80%、90%(即体积分数分别为40%、30%、30%、10%)的支架结构的抗压强度和弹性模量. 其弹性模量与抗压强度值均在骨骼的要求范围内(人体松质骨的弹性模量为0.01~10GPa,密质骨的为12~23GPa). 这一结果对选区激光熔融技术制备多孔植入体的研究具有一定的指导意义和参考价值. 并通过压缩曲线分析可得实心的单元体阵列的多孔支架(a、b)和空心的单元体阵列的多孔支架(c、d)破坏方式不同,但导致破坏方式不同所对应的体积分数的临界值需要进一步进行实验探究与分析.
The authors have declared that no competing interests exist. -
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图 3 体积分数-密度阈值关系散点图
Figure 3. Scatter plot of the relationship between volume fraction and density threshold
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图 4 目标函数随迭代次数的变化曲线
Figure 4. Objective function curve along with the change of the number of iterations
表 1 压缩测试结果
Table 1 Results of the static compression tests
序号 弹性模量/GPa 抗压强度/MPa a 11.80 323 b 8.41 184 c 1.71 34 d 0.30 4 
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