电池状态监控技术是电动汽车电池管理系统(battery management system,BMS)的核心技术之一 ^{[ 1]} . 快速、准确地监测和控制电池的参数及状态也是衡量 BMS 研发及生产者实力的最直接的指标 ^{[ 2]} . 目前,电池健康状态(state of health,SOH)估计研究是其相对薄弱的环节,而对 SOH 进行精准地监测和预测,能够提高荷电状态(state of charge,SOC)估计精度,以防止过充/过放、预测状态的演变以及估计其他性能状态. 此外,对于能量管理系统任务决策、减少安全隐患、防止灾难事故的发生也具有重要意义.

锂离子电池SOH估计的主要方法有直接放电法、内阻法、电化学阻抗分析法、模型法、电压曲线模型法 ^{[ 3- 5]} . 其中,直接放电法是目前唯一公认利用负载对单体电池SOH评价的可靠方法,但该方法需要离线测试电池的SOH,对车用动力电池来说实现困难,另外,测试负载较笨重,操作不方便;内阻法主要通过建立内阻与SOH之间的关系来估算SOH,由于电池内阻比较小,准确测量比较困难,这种方法还没有得到实际的应用;电化学阻抗分析法的主要思想是向电池施加多个正弦信号,然后运用模糊理论对已采集到的数据信息分析,预测电池的当前性能,需要做大量的数据采集与分析才能获取此款电池的特性,另外,还依赖诸多阻抗及阻抗谱的理论知识,性价比较低;模型法是分析电池内部所发生的化学反应,以此为基础建立电池模型,进而计算电池容量的衰减,得到电池的SOH,这种方法需要对电池内部的化学反应进行详尽分析,并需知道电池的有关参数,而且需要做大量关于电池寿命的试验,难度较大,耗时较长. 相对而言,电压曲线模型法建模简单,不需要电池的固有参数和做大量的试验,成本低,估算精确高.

本文基于恒流充电阶段电池电压曲线并结合二阶RC等效电路模型,给出了一种对单体锂离子电池SOH的估计方法,并通过试验数据验证了该估计方法的合理性和有效性.

1 锂离子电池测试条件和数据获取

试验用电池的额定容量为1.1A·h,正极为含有少量锰的钴酸锂材料,电池质量为21.1g,长、宽、高分别为50.0、33.8、6.6mm,基于该锂离子电池的循环寿命测试试验,建立了数据库以备分析 ^{[ 6- 8]} . 在循环寿命测试中,环境温度为常温,充电方式均为恒流-恒压(CC-CV)方式,即以0.5C恒流充电,直至电池电压达到充电截止电压4.2V,之后继续维持以4.2V恒压充电,直至充电电流减小至0.05A时停止充电,此时视电池已充满;以0.5C恒流放电,放电截止电压为2.7V.

2 锂离子电池SOH估计

2.1 SOH定义

对于纯电动汽车,通常当动力电池容量下降至额定容量的80%时,功率依旧可以达到一定的性能要求;而当电池的容量下降至额定容量的80%之后,认为动力电池的寿命终止. 因此,在纯电动汽车动力电池的SOH估计中,一般只将容量作为其评价指标. 定义 ^{[ 9]} 如下:

SOH= $\begin{array}{c}\frac{C_{\mathit{now}}}{C_{\mathit{rate}}}\end{array}$ ×100%(1)

式中: C _rate表示额定容量; C _now表示电池当前最大可用容量,它可以是在额定条件下所测得的,或是在当前使用条件下所测得的,而由于可逆容量的存在,当前测试条件改变时所测得的 C _now值一般并不相等,进而导致所得SOH的值也不相同.

电池的SOC用来表示当前的剩余可用电量占最大可用电量的百分比 ^{[ 10]} . 通过以容量评价SOH的定义,可以得到SOC定义的形式如下:

SOC= $\begin{array}{c}\frac{Q_{\mathit{nowre}}}{Q_{\mathit{now}}}\end{array}$ ×100 %(2)

式中: Q _now为当前最大可用电量,对应于当前 C _now; Q _nowre为当前的剩余可用电量,对应于当前 C _now中所剩余的电量.

2.2 SOH估计模型建立

电池在不同SOH下,通过0.5C恒流恒压充电方式进行充电,0.5C恒流放电,对应的恒流充电阶段的电池电压曲线如 图1所示.

图  1  不同SOH下充电电压曲线

Figure  1.  Charging profile under different SOH

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从 图1中可以发现:每一条恒流充电阶段电池电压曲线都非常相似,即电池在逐渐的老化过程中,相对应的恒流阶段的充电曲线逐渐向左上方缩移,充电的时间不断缩短,而电压“平台”也在渐渐地上升.

从外特性角度看,电池的SOC(或电压)主要受其内部参数以及初始状态等影响,其中容量影响最为显著 ^{[ 11- 12]} . 因此,对电池内部参数及状态的研究为基于电压曲线的电池状态估计提供了可靠依据. 基于以上认识,通过对恒流恒压充电方式下恒流阶段电压曲线的规律性现象的研究,以完成SOH估计.

在建立电池模型时,不仅要求模型能够真实反映电池的动态特性,同时也要考虑模型的复杂程度以及实时性等,以满足工程实际应用的要求. 常用的电池模型包括简化的电化学模型、等效电路模型、神经网络模型和特定因素模型等,其中,因等效电路模型的物理意义清晰、便于数学分析和进行参数辨识等特点而得到广泛应用 ^{[ 13]} . 常见的等效电路模型主要有线性模型、戴维南模型、PNGV(partnership for a new generation of vehicles)模型、四阶动态电路模型、二阶RC电路模型. 其中,线性模型属于理想模型,并没有考虑外界因素对电池的影响;戴维南模型由于没有考虑到外界温度对电池内阻的影响,对电池SOH 估算的实时性和准确性不高;PNGV模型的内阻参数和电池直流内阻较为准确,但在不同温度环境下的表现却不尽人意;四阶动态电路模型具有较高的阶数和精确度,但工程实现上很难,运算要求也很难实现;二阶RC电路模型虽然相较于一阶模型有较大的计算量,但是模型精确度能够大大提高 ^{[ 14]} ,相对于精度而言,锂离子电池的SOH估算对实时性的要求不敏感. 经过对多个模型的分析,本文采用等效电路模型中二阶RC模型,如 图2所示.

图  2  二阶RC模型等效电路

Figure  2.  Equivalent circuit model with double RC

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二阶RC模型电路结构包括:理想电压源 U _oc表示电池的开路电压,描述正负两极稳定电位之差;电阻 R ₀表示电池动力学行为的动态物理阻抗效应,对应于充放电过程的欧姆内阻;2个并联RC电路的串联,分别用来描述电池不同时间常数的极化现象阻抗效应,其中,电阻 R ₁和 R ₂分别表示时间常数较长和较短的极化电阻; C ₁和 C ₂则表示对应的极化电容;电流 I表示流经欧姆内阻 R ₀的电流;电压 U表示有负载时的输出电压或端电压,并规定放电电流符号取正,充电电流符号取负.

基于 图2所示的二阶RC模型,根据基尔霍夫定律可以得到锂离子电池的充电特性,即输出电压 U与输入电流 I的数学关系为

U=U _oc -U ₁ -U ₂+ IR ₀(3)

式中 U ₁、 U ₂为初始的极化电压,所有变量取正值.

由于等效电路模型能够很好地描述动力电池的外部特性,同时根据开路电压 U _oc与SOC的关系并结合式(3)可以得到

U(SOC, t) =U _oc(SOC) -U ₁ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}\end{array}$ +IR ₁(1-ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}\end{array}$ ) -U ₂ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}\end{array}$ +IR ₂(1-ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}\end{array}$ ) +IR ₀(4)

整理可得

U(SOC, t) =U _oc(SOC)-( U ₁ +IR ₁)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}\end{array}$ -( U ₂ +IR ₂)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}\end{array}$ -I( R ₀ +R ₁ +R ₂)(5)

式中 U _oc(SOC)表示开路电压是SOC的函数,随着SOC的增加, U _oc(SOC)呈现非线性、单调增加的趋势.

根据式(2),同一块电池在不同的老化状态,相同的SOC下可以得到关系式

SOC =SOC '= $\begin{array}{c}\frac{\mathit{It\text{'}}+C{\text{'}}_s}{C{\text{'}}_u}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{\mathit{It}+C_s}{C_u}\end{array}$ (6)

易得

t= $\begin{array}{c}\frac{C_u\mathit{SOC}-C_s}{I}\end{array}$ (7)

t'= $\begin{array}{c}\frac{C{\text{'}}_u\mathit{SOC\text{'}}-C{\text{'}}_s}{I}\end{array}$ (8)

式中: C _s为剩余可用电量; C _u为最大可用容量; t'表示对应于 t在不同老化状态下SOC相同时的值. SOC '、 C' _s、 C' _u则分别对应于SOC、 C _s、 C _u在不同老化状态时的值.

由式(5) ~(8)可以得到如下形式的方程:

U(SOC) =U _oc(SOC)-( U ₁ +IR ₁)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{C_u}{{\tau }_{1}I}\mathit{SOC}}\end{array}$ ex $\begin{array}{c}{p}^{\frac{C_s}{{\tau }_{1}I}}\end{array}$ -( U ₂ +IR ₂)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{C_u}{{\tau }_{2}I}\mathit{SOC}}\end{array}$ ex $\begin{array}{c}{p}^{\frac{C_s}{{\tau }_{2}I}}\end{array}$ +I( R ₀ +R ₁ +R ₂)(9)

U'(SOC) =U' _oc(SOC)-( U' ₁ +IR' ₁)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{C{\text{'}}_u}{\tau {\text{'}}_{1}I}\mathit{SOC}}\end{array}$ ex $\begin{array}{c}{p}^{\frac{C{\text{'}}_s}{{\tau }_{1}I}}\end{array}$ -( U' ₂ +IR' ₂)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{C{\text{'}}_u}{\tau {\text{'}}_{2}I}\mathit{SOC}}\end{array}$ ex $\begin{array}{c}{p}^{\frac{C{\text{'}}_s}{{\tau }_{2}I}}\end{array}$ +I( R' ₀ +R' ₁ +R' ₂)(10)

式中 R' ₀、 R' ₁、 R' ₂、 U' ₁、 U' ₂、 τ' ₁、 τ' ₂、 U' _oc(SOC)分别表示对应于 R ₀、 R ₁、 R ₂、 U ₁、 U ₂、 τ ₁、 τ ₂、 u _oc(SOC)在不同老化状态时的值.

根据文献 ^{[ 15]} ,在一定的误差范围内,可认为开路电压 U _oc(SOC)只随SOC的变化而变化. 实际上,影响开路电压的因素还有:构成电池两极体系的性质、电极材料、溶液组成与质量浓度、温度、电极界面状态、工艺配方及工艺过程等 ^{[ 16]} . 因此,对于同一块电池,在温度变化不大、老化不严重的情况下,认为电池开路电压在老化过程中基本不变;并且认为 R ₀、 R ₁、 R ₂在恒流充电阶段为定值,仅随循环次数的增加而改变. 即

U _oc(SOC) =U' _oc(SOC)(11)

由式(8) ~(10)可以得到,在不同老化状态下,充电时电池电压与SOC的关系表达式为

U'(SOC) -U(SOC) =( U ₁ +IR ₁)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{C_u}{{\tau }_{1}I}\mathit{SOC}}\end{array}$ ex $\begin{array}{c}{p}^{\frac{C_s}{{\tau }_{1}I}}\end{array}$ +( U ₂ +IR ₂)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{C_u}{{\tau }_{2}I}\mathit{SOC}}\end{array}$ ex $\begin{array}{c}{p}^{\frac{C_s}{{\tau }_{2}I}}\end{array}$ -( U' ₁ +IR' ₁)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{C{\text{'}}_u}{\tau {\text{'}}_{1}I}\mathit{SOC}}\end{array}$ ex $\begin{array}{c}{p}^{\frac{C{\text{'}}_s}{{\tau }_{1}I}}\end{array}$ -( U' ₂ +IR' ₂)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{C{\text{'}}_u}{\tau {\text{'}}_{2}I}\mathit{SOC}}\end{array}$ ex $\begin{array}{c}{p}^{\frac{C{\text{'}}_s}{{\tau }_{2}I}}\end{array}$ +I( R' ₀ +R' ₁ +R' ₂ -R ₀ -R ₁ -R ₂)(12)

由式(4)(5)可以进一步得到

t= $\begin{array}{c}\frac{C_u}{C{\text{'}}_u}\end{array}$ ( t'+ $\begin{array}{c}\frac{C{\text{'}}_s}{I}\end{array}$ )- $\begin{array}{c}\frac{C_s}{I}\end{array}$ (13)

由式(6)(12)(13)可以得到

U'( t') =U( t) +( U ₁ +IR ₁)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{1}{{\tau }_1}t}\end{array}$ +( U ₂ +IR ₂)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{1}{{\tau }_2}t}\end{array}$ -( U' ₁ +IR' ₁)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{1}{\tau {\text{'}}_1}\mathit{t\text{'}}}\end{array}$ -( U' ₂ +IR' ₂)ex $\begin{array}{c}{p}^{-\frac{1}{\tau {\text{'}}_2}\mathit{t\text{'}}}\end{array}$ +I( R' ₀ +R' ₁ +R' ₂ -R ₀ -R ₁ -R ₂)(14)

一般以第1次充放电循环中恒流充电阶段的电压曲线 U( t)作为基准,并且电池可用容量已知. 在恒流充电获取 U( t)曲线前,应使初始电池的SOC尽量小,即 C _s≈0. 为方便SOH的估计,令

a ₁ =U ₁ +IR ₁; b ₁ =- $\begin{array}{c}\frac{1}{{\tau }_1}\end{array}$ ; c ₁ =U' ₁ +IR' ₁ a ₂ =U ₂ +IR ₂; b ₂ =- $\begin{array}{c}\frac{1}{{\tau }_2}\end{array}$ ; c ₂ =U' ₂ +IR' ₂ d ₁ =- $\begin{array}{c}\frac{1}{\tau {\text{'}}_1}\end{array}$ ; d ₂ =- $\begin{array}{c}\frac{1}{\tau {\text{'}}_2}\end{array}$ ;Δ t= $\begin{array}{c}\frac{C{\text{'}}_s}{I}\end{array}$ ; k= $\begin{array}{c}\frac{C_u}{C{\text{'}}_u}\end{array}$ e=I( R' ₀ +R' ₁ +R' ₂ -R ₀ -R ₁ -R ₂)(15)

由此可以得到,在不同老化程度下,恒流充电阶段电池电压曲线的数学模型为

U'( t') =U( k( t'+Δ t)) +a ₁ex $\begin{array}{c}{p}^{b_{1}k(\mathit{t\text{'}}+\mathit{\Delta t})}\end{array}$ +a ₂ex $\begin{array}{c}{p}^{b_{2}k(\mathit{t\text{'}}+\mathit{\Delta t})}\end{array}$ -c ₁ex $\begin{array}{c}{p}^{d_1\mathit{t\text{'}}}\end{array}$ -c ₂ex $\begin{array}{c}{p}^{d_2\mathit{t\text{'}}}\end{array}$ +e(16)

由于在一次恒流阶段充电过程中,式中 a ₁、 a ₂、 b ₁、 b ₂、 c ₁、 c ₂、 d ₁、 d ₂、 e、Δ t、 k均视为常数且可以通过数值计算的方法辨识得到,因此,能够估计出电池SOH的值,即1 /k.

2.3 估计模型参数辨识

通过对 SOH在100%时的恒流充电阶段的电池电压数据进行处理,可以得到一条恒流阶段电池电压曲线,并以此作为模型的基准线,如 图3所示. 本文提出的基准曲线的选取方法,比传统的通过归一化处理电池电压曲线包围坐标轴的面积来选取所需的基准曲线的方法 ^{[ 17]} 更加简单且易于实现实车动力电池 SOH估计.

图  3  基准充电电压曲线

Figure  3.  Benchmark charging profile

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根据文献 ^{[ 18]} 中的方法,可以得到基准线的电压U(t)与时间t的函数关系

U(t)=-0.34 exp ^{-30.81 t}-0.11 exp ^{1.46 t}+0.36t ³-0.45t ²+ 0.68t+ 3.86(17)

将式(17)带入方程(16)中对基准电压曲线进行拟合,此时k、e、 Δt应该同时满足以下条件:

$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}k\to 1\\ \mathit{\Delta t}\to 0\\ e\to 0\end{array}\right.\end{array}$

同时,当a ₁≈c ₁、b ₁≈d ₁、a ₂≈c ₂、b ₂≈d ₂也满足时,便可以辨识出a ₁、a ₂、b ₁、b ₂的值并带入方程(16),可得到恒流充电阶段电池电压曲线的数学模型,其一般形式为

U'(t')=-0.34 exp ^{-30.81 k(t'+ Δ t)}- 0.11 exp ^{1.46 k(t'+ Δ t)}+0.36k ³(t'+ Δt) ³-0.45k ²(t'+ Δt) ²+0.68t+3.86-40.44 exp ^{-19.29 k(t'+ Δ t)} -c ₁ ex $\begin{array}{c}{p}^{d_1\mathit{t\text{'}}}\end{array}$ +94.36 exp ^{-20.79 k(t'+ Δ t)}-c ₂ ex $\begin{array}{c}{p}^{d_2\mathit{t\text{'}}}\end{array}$ +e(18)

从上述分析可以看出,本文所采用的二阶RC电路模型,不需要开路电压、剩余电量或阻抗等难以准确获得的参数,也无需大量试验数据进行训练,甚至不受使用工况影响.

3 估计结果与分析

对不同老化程度下的恒流充电阶段电池电压数据进行拟合,其结果如 图4所示.

图  4  不同SOH下的实测电压拟合曲线图

Figure  4.  Voltage curve fitting under different SOH

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进一步地,基于SOH估计模型, 图5、 表1给出了电池在不同老化程度下,对应的SOH实测值与估计值以及相对误差. 可以看到:在SOH值衰减至80%之前,SOH的估算精度较为准确,相对误差均在±2%范围内,而文献 ^{[ 17]} 中的传统电压曲线拟合估计SOH精度的相对误差最大达到7%,加入自适应算法的电压曲线拟合的估算精度最大也达到了2.17%;而在SOH值衰减至80%之后,作为电动汽车用动力电池的寿命终止,因此不进行讨论. 这表明,在电池容量衰减至80%之前,恒流充电阶段电池电压曲线变化趋势非常相近,从而验证了SOH估计结果的精确性. 由于老化严重,在容量衰减至80%之后,温度、内阻等各种因素使恒流充电阶段电池电压曲线在变化趋势上发生了较大改变,规律性变弱,造成估计波动较大. 为此可以考虑对基准线进行修正,以期望更好地估计精度.

图  5  SOH实测值与估计值以及相对误差

Figure  5.  Comparison of real and estimated values of SOH

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表  1  SOH实测值与估计值

Table  1.  SOH real and estimated values%

SOH实测值	SOH估计值	估计相对误差
104.56	105.76	1.14
99.62	100.49	0.34
89.38	89.10	-0.31
80.21	78.87	-1.67
67.25	62.59	-6.93

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以上SOH估计所使用的循环寿命测试数据为每次采集数据时第2次循环测试数据,而从SOH估计结果来看,该方法并不受SOH值与循环次数关系曲线上“峰值”现象的影响,即该方法不受循环次数和使用历史的影响,也反映了电池端电压及状态的综合表现,进一步验证了估计模型的精确性和估计方法的合理性和有效性.

4 结论

1) 基于单体电池二阶RC模型的SOH估计模型复杂程度适中,既可以反映电池的动态特性,又能满足电池管理系统的使用要求.

2) 在SOH值衰减至80%之前,所推导出的估计模型是适用且准确的,所用的估计方法可行且有效. 利用不同老化程度下恒流充电阶段电池电压曲线并结合二阶RC电路模型,既不需要开路电压、剩余电量或阻抗等实际工程上难以准确获得的参数,也无需大量实验数据进行训练,甚至不受使用工况影响.

3) 本文所用方法对其他类型电池的SOH估计及工程应用具有一定的参考价值.